ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ

ਕਿਸੇ ਹਾਈਡ੍ਰੋਜਨ ਐਟਮ ਦੇ 5-ਅਯਾਮੀ ਐਟੌਮਿਕ ਔਰਬਿਟਲ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਨ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਵੇਵ ਫੰਕਸਨ। ਠੋਸ ਹਿੱਸਾ ਓਹ ਸਥਾਨ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਡੈਂਸਟੀ ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਮੁੱਲ (ਇੱਥੇ 0.02 nm⁻³) ਤੋਂ ਕੁੱਝ ਜਿਆਦਾ ਹਿੰਦੀ ਹੈ: ਇਸ ਨੂੰ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨਾਲ ਖੋਜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਰੰਗਦਾਰ ਸਤਹਿ ਉੱਤੇ ਹਿਊ, ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਫੇਜ਼ ਨੂੰ ਦਿਖਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ, ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਿਸਟਮਾਂ ਦੇ ਵਰਤਾਓ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਸਤੇ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਮੌਡੂਲਸ ਦਾ ਵਰਗ ਕਰਨ ਤੇ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਜਾਂ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਡੈਂਸਟੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ, ਕਿਸੇ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ (ਜਾਂ, ਹੋਰ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਕਿਸੇ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਵੈਕਟਰ ਦੇ) ਅਤੇ ਓਸ ਸਿਸਟਮ ਦੇ ਨਿਰੀਖਣਾਂ ਦੇ ਨਤੀਜਿਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਸਬੰਧ ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਮੈਕਸ ਬੌਰਨ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਇੱਕ ਸਬੰਧ ਸੀ। ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਿਸੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲਾਂ ਦੀ ਵਿਆਖਿਆ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਕੌਪਨਹੀਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਦਾ ਇੱਕ ਸਤੰਬ ਹੈ। ਦਰਅਸਲ, ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ, ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਣ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਭੌਤਿਕੀ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਰਹੀਆਂ ਸਨ। (ਜਿਵੇਂ ਕੁੱਝ ਅਨਿਰੰਤਰ ਊਰਜਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਐਟਮਾਂ ਤੋਂ ਨਿਕਾਸ ਹੋਣਾ)।

ਬੌਰਨ ਨੂੰ ਇਸ ਸਮਝ ਲਈ 1954 ਵਿੱਚ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਅੰਦਰ ਨੋਬਲ ਪੁਰਸਕਾਰ ਦਾ ਅੱਧ ਮਿਲਿਆ (ਦੇਖੋ ਹਵਾਲੇ), ਅਤੇ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕੈਲਕੁਲੇਟ ਕੀਤੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਨੂੰ ਕਦੇ ਕਦੇ "ਬੌਰਨ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ" ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ-ਯੁਕਤ ਸਕੰਲਪ, ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਨਾਮ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਡੈਂਸਟੀ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਨਾਪ ਹਨ, ਥਿਊਰੀ ਉੱਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਮੂਲ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ, ਜਿਵੇਂ ਐਰਵਿਨ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਅਤੇ ਅਲਬਰਟ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੁਆਰਾ ਸਖਤੀ ਨਾਲ ਵਿਵਾਦਾਗ੍ਰਸਤ ਰਹੇ ਸਨ। ਇਹ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀਆਂ ਵਿਆਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਰਹੱਸਮਈ ਨਤੀਜਿਆਂ ਅਤੇ ਫਿਲਾਸਫੀਕਲ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਦਾ ਸੋਮਾ ਹੈ- ਜੋ ਅਜਿਹੇ ਪ੍ਰਸੰਗ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਉੱਤੇ ਅੱਜ ਵੀ ਬਹਿਸ ਹੁੰਦੀ ਰਹਿਣਾ ਜਾਰੀ ਹੈ।

ਸਾਰਾਂਸ਼

ਮੁੱਖ ਲੇਖ: ਬੌਰਨ ਰੂਲ

ਭੌਤਿਕੀ

ਕੁੱਝ ਤਕਨੀਕੀ ਗੁੰਝਲਾਂ ਨੂੰ ਅੱਖੋਂ-ਓਹਲੇ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਕੁਆਂਟਮ ਨਾਪ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਕਿਸੇ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਦਾ ਵਰਤਾਓ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਵਾਸਤੇ ਨਾਪੇ ਜਾਣ ਵਾਲੇ ਨਿਰੀਖਣਯੋਗ Q ਦਾ ਮੁੱਲ, ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੀ ਕੋਈ ਅਵਸਥਾ, ਨਿਰੀਖਣਯੋਗਾਂ ਦੀਆਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਕੋਹਰੰਟ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਹੋਣੀ ਸੋਚੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰੀਖਣ-ਯੋਗ ਦਾ ਮੁੱਲ ਨਿਰਾਲੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਨਿਰੀਖਣ-ਯੋਗ ਦੇ ਵੱਖਰੇ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਸਤੇ, ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਜਦੋਂ Q ਦਾ ਕੋਈ ਨਾਪ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ (ਕਾਪਨਹੀਗਨ ਵਿਆਖਿਆ ਅਧੀਨ) ਸਿਸਟਮ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਅਵਸਥਾ ਉੱਤੇ ਜੰਪ ਕਰ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤੇ ਓਸ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਸਿਸਟਮ, ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ ਗੈਰ-ਸਮਾਨ "ਵਜ਼ਨਾਂ" ਵਾਲੀਆਂ ਇਹਨਾਂ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸਨ ਜਾਂ ਇੱਕ ਲੀਨੀਅਰ ਕੰਬਿਨੇਸ਼ਨ (ਰੇਖਿਕ ਮੇਲ) ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਸਹਿਜ ਗਿਆਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਹ ਸਪਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ ਭਾਰੀ ਵਜ਼ਨਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੇ ਪੈਦਾ ਹੋਣ ਦੀ ਜਿਆਦਾ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਹੜੀਆਂ ਉਪਰਲੀਆਂ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਸਿਸਟਮ ਜੰਪ ਕਰੇਗਾ, ਇੱਕ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ-ਯੁਕਤ ਨਿਯਮ ਰਾਹੀਂ ਪਤਾ ਲਗਦਾ ਹੈ: ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਅਵਸਥਾ ਪ੍ਰਤਿ ਜੰਪ ਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਸਬੰਧਤ ਸੰਖਿਅਕ ਵਜ਼ਨ ਦੇ ਵਰਗ ਦੇ ਸ਼ੁੱਧ ਮੁੱਲ ਪ੍ਰਤਿ ਅਨੁਪਾਤ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸੰਖਿਅਕ ਵਜ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਸ਼ੁੱਧ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ (ਜਿਵੇਂ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ) ਤੋਂ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀਆਂ ਦਾ ਪਤਾ ਲਗਾਉਣ ਨੂੰ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਇਸ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਬੌਰਨ ਰੂਲ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਸਪਸ਼ਟ ਹੈ ਕਿ, ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀਆਂ ਦਾ ਜੋੜ, ਜੋ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡਾਂ ਦੇ ਸ਼ੁੱਧ ਵਰਗਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਰੂਰ ਹੀ 1 ਰਹਿਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ (ਥੱਲੇ ਦੇਖੋ) ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਜੇਕਰ ਸਿਸਟਮ Q ਦੀ ਕਿਸੇ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਪਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ (ਯਾਨਿ ਕਿ, Q ਦੇ ਸਬੰਧਤ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਦੇ ਕਿਸੇ ਨਿਰੀਖਣ ਤੋਂ ਬਾਦ), ਤਾਂ Q ਦੇ ਸਾਰੇ ਅਗਲੇ ਨਾਪਾਂ ਵਾਸਤੇ ਆਈਗਨ-ਮੁਲਾਂ ਦੇ ਨਿਰੀਖਣ ਦੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ 1 (ਨਿਸ਼ਚਿਤ) ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ (ਜਿੰਨੀ ਦੇਰ ਤੱਕ ਕੋਈ ਹੋਰ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਬਲ ਨਾਪਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਕ੍ਰਿਆ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ)। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਹੋਰ ਸਾਰੀਆਂ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਲਈ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ 0 ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਭਵਿੱਖ ਦੇ ਨਾਪਾਂ ਵਾਸਤੇ ਵੀ 0 ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ Q ਦੇ ਨਾਪ ਉਪਰੰਤ ਸਿਸਟਮ ਦੁਆਰਾ ਜੰਪ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਣ ਵਾਲੀਆਂ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦਾ ਸਮੂਹ, R ਦੇ ਨਾਪ ਵਾਸਤੇ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਵਾਲਾ ਹੀ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ R ਜਾਂ Q ਦੇ ਤੁਰੰਤ ਅਗਲੇ ਨਾਪ ਹਮੇਸ਼ਾ ਹੀ 1 ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਵਾਲੇ ਉਹੀ ਮੁੱਲ ਪੈਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਭਾਵੇਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕ੍ਰਮ ਵਿੱਚ ਨਾਪ ਲਏ ਜਾਣ। ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਕਿਸੇ ਵੀ ਨਾਪ ਤੋਂ ਅਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਰਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਨਿਰੀਖਣ-ਯੋਗਾਂ ਨੂੰ ਕਮਿਊਟ ਕਰਦੇ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸਦੇ ਉਲਟ, ਜੇਕਰ Q ਅਤੇ R ਦੀਆਂ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਹੋਣ, ਤਾਂ R ਦਾ ਨਾਪ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਅਵਸਥਾ ਪ੍ਰਤਿ ਜੰਪ ਪੈਦਾ ਕਰਵਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜੋ Q ਦੀ ਕੋਈ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਇਸ ਕਰਕੇ, ਜੇਕਰ ਸਿਸਟਮ, Q ਦੀ ਕਿਸੇ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਗਿਆਤ ਹੋਵੇ (ਇੱਕ ਆਈਗਨ-ਅਵਸਥਾ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਬਾਕੀ ਸਾਰੇ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ 0 ਹੋਣ), ਤਾਂ ਜਦੋਂ R ਦਾ ਨਿਰੀਖਣ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਤਬਦੀਲ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। Q ਦਾ ਤੁਰੰਤ ਅਗਲਾ ਦੂਜਾ ਨਿਰੀਖਣ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਤੌਰ ਤੇ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਪੈਦਾ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, Q ਦੇ ਦੂਜੇ ਤੁਰੰਤ ਅਗਲੇ ਨਾਪ ਵਾਸਤੇ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਇਸ ਗੱਲ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ ਕਿ ਕੀ ਇਹ R ਦੇ ਕਿਸੇ ਨਾਪ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਆਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਬਾਦ ਵਿੱਚ, ਅਤੇ ਦੋਵੇਂ ਨਿਰੀਖਣ-ਯੋਗ ਕਮਿਊਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦੇ।

ਗਣਿਤਿਕ

ਇੱਕ ਰਸਮੀ ਪ੍ਰਬੰਧ ਵਿੱਚ, ਕੋਈ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰਲਾ ਸਿਸਟਮ ਕਿਸੇ ਅਵਸਥਾ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਹਿਲਬ੍ਰਟ ਸਪੇਸ ਕਹੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ, ਇੱਕ ਅਮੂਰਤ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਰਹਿਣ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ |Ψ⟩ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਜਾਂ ਤਾਂ ਅਸੀਮਤ- ਜਾਂ ਸੀਮਤ-ਅਯਾਮੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਓਸ ਹਿਲਬ੍ਰਟ ਸਪੇਸ ਦੀ ਇੱਕ ਆਮ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ, ਇੱਕ ਖਾਸ ਫੰਕਸ਼ਨ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸੈੱਟ X ਉੱਤੇ L²(X) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਜਾਂ ਤਾਂ ਕੋਈ ਬਣਤਰ ਸਪੇਸ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਇੱਕ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸੈੱਟ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ

• ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ
• ਸੀਮਤ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਬੈਰੀਅਰ
• ਮੈਟਰ ਵੇਵ
• ਅਨਸਰਟਨਟੀ ਪ੍ਰਿੰਸੀਪਲ
• ਵਾਰਡ ਦਾ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ
• ਵੇਵ ਪੈਕਟ
• ਫੇਜ਼ ਸਪੇਸ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ

ਹਵਾਲੇ

• Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1989). "Probability Amplitudes". The Feynman Lectures on Physics. Vol. Volume 3. Redwood City: Addison-Wesley. ISBN 0-201-51005-7. {{cite book}}: |volume= has extra text (help); External link in |chapterurl= (help); Unknown parameter |chapterurl= ignored (|chapter-url= suggested) (help)
• Gudder, Stanley P. (1988). Quantum Probability. San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-305340-4.