ਬਟੇਨੁਮਾ ਸੰਖਿਆ: ਰੀਵਿਜ਼ਨਾਂ ਵਿਚ ਫ਼ਰਕ

ਸਮੱਗਰੀ ਮਿਟਾਈ ਸਮੱਗਰੀ ਜੋੜੀ

ਇਨਲਾਈਨ

02:53, 6 ਸਤੰਬਰ 2014 ਦਾ ਦੁਹਰਾਅ

ਬਟੇਨੁਮਾ ਸੰਖਿਆ ਜਾਂ ਅਨੁਪਾਤਕ ਸੰਖਿਆ ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਹਨੂੰ "ਬਟੇ" ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜੁੱਟ ਨੂੰ $\mathbb {Q}$ ਨਾਲ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਿੱਚ rational number ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। rational ਦੀ ਉਤਪਤੀ 'ratio' (ਅਨੁਪਾਤ) ਸ਼ਬਦ ਤੋਂ ਹੋਈ ਹੈ ਅਤੇ $\mathbb {Q}$ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਸ਼ਬਦ quotient (ਵੰਡਫਲ) ਤੋਂ ਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।^[1]

ਪ੍ਰੀਭਾਸ਼ਾ

ਸੰਖਿਆ r ਨੂੰ ਬਟੇਨੁਮਾ ਸੰਖਿਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੇ ਇਸਨੂੰ ${\frac {p}{q}}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ, ਜਿੱਥੇ p ਅਤੇ q ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਅਤੇ q ≠ 0
ਜਿਵੇ ${\frac {2}{3}}$ , ${\frac {-56}{67}}$ , ${\frac {9}{11}}$ , ${\frac {4}{1}}$ ··············

ਵਿਸ਼ੇਸ਼

ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕੇ -6 ਨੂੰ ${\frac {-6}{1}}$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਰੇਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਅੰਕ, ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਅਤੇ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵੀ ਆਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।^[2]

ਅੰਕਗਣਿਤ

ਬਟੇਨੁਮਾ ਬਰਾਬਰਤਾ

ਬਟੇਨੁਮਾ ਉਦੋਂ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਗੇ ਜੇ : ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}$ ਸਿਰਫ਼ ਤੇ ਸਿਰਫ਼ $ad=bc.$

ਜਿਵੇ

{\frac {1}{3}}={\frac {2}{6}}

{\frac {-1}{2}}={\frac {1}{-2}}

{\frac {0}{1}}={\frac {0}{2}}

ਤਰਤੀਬ

ਜਦੋਂ ਦੋਹੇਂ ਹੀ ਹਰ ਧਨ ਦੇ ਹੋਣ

{\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}

ਸਿਰਫ਼ ਤੇ ਸਿਰਫ਼

ad<bc.

ਜੇ ਦੋਹੇਂ ਹਰ ਰਿਣ ਦਾ ਹੋਣੇ ਤਾਂ ਦੋਹੇਂ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਧਨ ਦਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

{\frac {-a}{-b}}={\frac {a}{b}}

ਅਤੇ

{\frac {a}{-b}}={\frac {-a}{b}}.

ਜੋੜ

ਦੋ ਬਟੇਨੁਮਾ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

{\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.

ਘਟਾਓ

{\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.

ਗੁਣਾ ਕਰਨਾ

ਗੁਣਾ ਕਰਨ ਦਾ ਨਿਯਮ ਹੈ:

{\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.

ਵੰਡ ਕਰਨੀ

ਜਿਥੇ c ≠ 0:

{\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {ad}{bc}}.

ਬਟੇਨੁਮਾ ਦਾ ਉਲਟਾ

ਜੋੜਕ ਉਲਟਾ ਅਤੇ ਗੁਣਕ ਉਲਟਾ ਦੋਹੇਂ ਹੀ ਸੰਭਵ ਹਨ।

-\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\quad {\mbox{and}}\quad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}{\mbox{ if }}a\neq 0.

ਬਟੇਨੁਮਾ ਦੀ ਘਾਤ ਅੰਕ

ਜੇ n ਨਨ-ਰਿਣਾਤਮਿਕ ਪਰਿਮੇਯ ਹੈ ਤਾਂ

\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}

ਅਤੇ (ਜੇ a ≠ 0):

\left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}.

↑ Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th ed.). New York, NY: McGraw-Hill. pp. 105,158–160.
↑ Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (6th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. pp. 243–244.

[1] Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th ed.). New York, NY: McGraw-Hill. pp. 105,158–160.

[2] Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (6th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. pp. 243–244.

[1]

[2]

@@ ਲਾਈਨ 1: / ਲਾਈਨ 1: @@
-'''ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ''' ਦੇ ਸੰਗ੍ਰਹਿ ਨੂੰ <math>\mathbb{Q}</math> ਨਾਲ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਿੱਚ rational number ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। rational ਦੀ ਉਤਪਤੀ 'ratio' ਸ਼ਬਦ ਤੋਂ ਹੋਈ ਹੈ ਅਤੇ <math>\mathbb{Q}</math> ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਸ਼ਬਦ quotient ਤੋਂ ਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।<ref>Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th ed.). New York, NY: McGraw-Hill. pp. 105,158–160.</ref>
+'''ਬਟੇਨੁਮਾ ਸੰਖਿਆ''' ਜਾਂ '''ਅਨੁਪਾਤਕ ਸੰਖਿਆ''' ਉਹ ਸੰਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਹਨੂੰ "ਬਟੇ" ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੋਵੇ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਜੁੱਟ ਨੂੰ <math>\mathbb{Q}</math> ਨਾਲ ਪ੍ਰਗਟ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਵਿੱਚ ''rational number'' ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। rational ਦੀ ਉਤਪਤੀ 'ratio' ([[ਅਨੁਪਾਤ]]) ਸ਼ਬਦ ਤੋਂ ਹੋਈ ਹੈ ਅਤੇ <math>\mathbb{Q}</math> ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਸ਼ਬਦ quotient ([[ਵੰਡਫਲ]]) ਤੋਂ ਲਿਆ ਗਿਆ ਹੈ।<ref>Rosen, Kenneth (2007). Discrete Mathematics and its Applications (6th ed.). New York, NY: McGraw-Hill. pp. 105,158–160.</ref>
 ==ਪ੍ਰੀਭਾਸ਼ਾ==
-ਸੰਖਿਆ '''r''' ਨੂੰ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੇ ਇਸਨੂੰ <math>\frac{p}{q}</math> ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ, ਜਿੱਥੇ '''p''' ਅਤੇ '''q''' ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਅਤੇ ''q'' ≠ 0<br/>
+ਸੰਖਿਆ '''r''' ਨੂੰ ਬਟੇਨੁਮਾ ਸੰਖਿਆ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੇ ਇਸਨੂੰ <math>\frac{p}{q}</math> ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ, ਜਿੱਥੇ '''p''' ਅਤੇ '''q''' ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਅਤੇ ''q'' ≠ 0<br/>
 ਜਿਵੇ   <math>\frac{2}{3}</math>,    <math>\frac{-56}{67}</math>,    <math>\frac{9}{11}</math>,    <math>\frac{4}{1}</math>··············
 ==ਵਿਸ਼ੇਸ਼==
-ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕੇ '''-6''' ਨੂੰ <math>\frac{-6}{1}</math> ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਰੇਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ [[ਪ੍ਰਾਕਿ੍ਰਤਿਕ ਸੰਖਿਆ|ਪ੍ਰਾਕਿ੍ਰਤਿਕ ਸੰਖਿਆਵਾਂ]], [[ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ|ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ]] ਅਤੇ [[ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ|ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ]] ਵੀ ਆਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।<ref>Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (6th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. pp. 243–244.</ref>
+ਸਾਰੀਆਂ ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹਨ। ਕਿਉਂਕੇ '''-6''' ਨੂੰ <math>\frac{-6}{1}</math> ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਅਸੀਂ ਇਹ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਪਰੇਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ [[ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਅੰਕ|ਗਿਣਤੀ ਦੇ ਅੰਕ]], [[ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ|ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ]] ਅਤੇ [[ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ|ਸੰਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆਵਾਂ]] ਵੀ ਆਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।<ref>Gilbert, Jimmie; Linda, Gilbert (2005). Elements of Modern Algebra (6th ed.). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. pp. 243–244.</ref>
 ==ਅੰਕਗਣਿਤ==
+===ਬਟੇਨੁਮਾ ਬਰਾਬਰਤਾ===
-===ਪਰਿਮੇਯ ਬਰਾਬਰ===
-ਪਰਿਮੇਯ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਗੇ ਜੇ :<math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d}</math> ਸਿਰਫ ਤੇ ਸਿਰਫ <math>ad = bc.</math>
+ਬਟੇਨੁਮਾ ਉਦੋਂ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਗੇ ਜੇ :<math>\frac{a}{b} = \frac{c}{d}</math> ਸਿਰਫ਼ ਤੇ ਸਿਰਫ਼ <math>ad = bc.</math>
 :ਜਿਵੇ
 :<math>\frac{1}{3} = \frac{2}{6}</math>
@@ ਲਾਈਨ 14: / ਲਾਈਨ 14: @@
 :<math>\frac{0}{1} = \frac{0}{2}</math>
-===ਕ੍ਰਮ===
+===ਤਰਤੀਬ===
-ਜਦੋਂ ਦੋਨੇ ਹੀ '''ਹਰ''' ਧਨ ਦੇ ਹੋਣ
+ਜਦੋਂ ਦੋਹੇਂ ਹੀ '''ਹਰ''' ਧਨ ਦੇ ਹੋਣ
-:<math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math> ਸਿਰਫ ਤੇ ਸਿਰਫ <math>ad < bc.</math>
+:<math>\frac{a}{b} < \frac{c}{d}</math> ਸਿਰਫ਼ ਤੇ ਸਿਰਫ਼ <math>ad < bc.</math>
-ਜੇ ਦੋਨੋ '''ਹਰ''' ਰਿਣ ਦਾ ਹੋਣੇ ਤਾਂ ਦੋਨੋ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਧਨ ਦਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
+ਜੇ ਦੋਹੇਂ '''ਹਰ''' ਰਿਣ ਦਾ ਹੋਣੇ ਤਾਂ ਦੋਹੇਂ ਅੰਸ਼ ਨੂੰ ਧਨ ਦਾ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
 :<math>\frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}</math>
 ਅਤੇ
@@ ਲਾਈਨ 24: / ਲਾਈਨ 24: @@
 ===ਜੋੜ===
-ਦੋ ਪਰਿਮੇਯ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
+ਦੋ ਬਟੇਨੁਮਾ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਹੇਠ ਲਿਖੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਜੋੜਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
 :<math>\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.</math>
@@ ਲਾਈਨ 34: / ਲਾਈਨ 34: @@
 :<math>\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.</math>
-===ਵੰਡ ਕਰਨਾ===
+===ਵੰਡ ਕਰਨੀ===
 ਜਿਥੇ ''c'' ≠ 0:
 :<math>\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}.</math>
-===ਪਰਿਮੇਯ ਦਾ ਉਲਟਾ===
+===ਬਟੇਨੁਮਾ ਦਾ ਉਲਟਾ===
-ਜੋੜਕ ਉਲਟਾ ਅਤੇ ਗੁਣਕ ਉਲਟਾ ਦੋਨੋ ਹੀ ਸੰਭਵ ਹਨ।
+ਜੋੜਕ ਉਲਟਾ ਅਤੇ ਗੁਣਕ ਉਲਟਾ ਦੋਹੇਂ ਹੀ ਸੰਭਵ ਹਨ।
 :<math> - \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} \quad\mbox{and}\quad
         \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ if } a \neq 0. </math>
-===ਪਰਿਮੇਯ ਦੀ ਘਾਤ ਅੰਕ===
+===ਬਟੇਨੁਮਾ ਦੀ ਘਾਤ ਅੰਕ===
 ਜੇ ''n'' ਨਨ-ਰਿਣਾਤਮਿਕ ਪਰਿਮੇਯ ਹੈ ਤਾਂ
 :<math>\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}</math>