ਯੁਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ

ਵਿਕੀਪੀਡੀਆ, ਇੱਕ ਅਜ਼ਾਦ ਗਿਆਨਕੋਸ਼ ਤੋਂ
Jump to navigation Jump to search

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਸਕੁਏਅਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ U ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਇਸਦਾ ਕੰਜੂਗੇਟ ਟ੍ਰਾਂਸਪੋਜ਼ U ਇਸੇ ਦਾ ਉਲਟ ਵੀ ਹੋਵੇ- ਯਾਨਿ ਕਿ, ਜੇਕਰ

ਜਿੱਥੇ I ਇੱਕ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਖਾਸਕਰ ਕੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਹਰਮਿਸ਼ੀਅਨ ਕੰਜੂਗੇਟ ਜੋ ਡੈਗਰ () ਨਾਲ ਚਿੰਨਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਉਪਰੋਕਤ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ

ਕਿਸੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਵਾਸਤਵਿਕ ਐਨਾਲੌਗ ਇੱਕ ਔਰਥੋਗਨਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਮਹੱਤਤਾ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਰਕੇ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਿਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡਾਂ ਨੂੰ ਵੀ।

ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ[ਸੋਧੋ]

ਸੀਮਤ ਅਕਾਰ ਦੇ ਕਿਸੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ U ਵਾਸਤੇ, ਇਹ ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ:

  • ਦੋ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰਾਂ x ਅਤੇ y ਦੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ, U ਨਾਲ ਗੁਣਨਫਲ ਇਹਨਾਂ ਦਾ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ; ਯਾਨਿ ਕਿ,
Ux, Uy⟩ = ⟨x, y
ਜਿੱਥੇ V ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ D ਡਿਗਨਲ ਅਤੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਕਿਸੇ ਗੈਰ-ਨੈਗਟਿਵ ਇੰਟਜਰ n ਲਈ, ਮੈਟ੍ਰਕਸ ਗੁਣਨਫਲ, ਸਾਰੇ n × n ਯੁਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਰਚਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ U(n) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਕਾਈ ਯੁਕਿਲਡਨ ਨੌਰਮ ਵਾਲਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸਕੁਏਅਰ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ, ਦੋ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਔਸਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। [1]

ਬਰਾਬਰ ਦੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ[ਸੋਧੋ]

ਜੇਕਰ U ਇੱਕ ਸਕੁਏਅਰ, ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ, ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੀਆਂ ਸ਼ਰਤਾਂ ਬਰਾਬਰ ਦੀਆਂ ਹਨ:

  1. U ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
  2. U ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
  3. U, U−1 = U ਨਾਲ ਉਲਟਾਉਣ-ਯੋਗ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
  4. U ਦੇ ਕਾਲਮ, ਆਮ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਤਿ ਦਾ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਅਧਾਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
  5. U ਦੀਆਂ ਕਤਾਰਾਂ ਆਮ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਤਿ ਦਾ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਅਧਾਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਨ।
  6. U ਆਮ ਨੌਰਮ ਪ੍ਰਤਿ ਇੱਕ ਆਇਸੋਮੈਟ੍ਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
  7. U ਇੱਕ ਨੌਰਮਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਆਈਗਨ-ਮੁੱਲ ਇਕਾਈ ਚੱਕਰ ਉੱਤੇ ਰੱਖੇ ਹੁੰਦ ਹਨ।

ਬੁਨਿਆਦੀ ਬਣਤਰਾਂ[ਸੋਧੋ]

2 × 2 ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ[ਸੋਧੋ]

ਕਿਸੇ 2 × 2 ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਆਮ ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

ਜੋ 4 ਵਾਸਤਵਿਕ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ:

a ਦਾ ਫੇਜ਼,
b ਦਾ ਫੇਜ਼,
a ਅਤੇ b ਦਰਮਿਆਨ ਸਾਪੇਖਿਕ ਮੈਗਨੀਟਿਉਿਡ, ਅਤੇ
ਕੋਣ φ)

ਅਜਿਹੇ ਕਿਸੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਾ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ ਇੰਝ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:


ਦਾ ਨਾਲ ਤੱਤਾਂ ਦਾ ਉੱਪ-ਸਮੂਹ ਸਪੈਸ਼ਲ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ SU(2) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ U ਨੂੰ ਇਸ ਬਦਲਵੀਂ ਕਿਸਮ ਨਾਲ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

ਜੋ, φ1 = ψ + Δ ਅਤੇ φ2 = ψ − Δ ਦਾਖਲ ਕਰਨ ਨਾਲ, ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵਟ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

ਇਹ ਦਰਸਾਓ (ਐਕਸਪ੍ਰੈਸ਼ਨ), ਕੋਣ θ ਦੇ 2 × 2 ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਅਤੇ 2 × 2 ਔਰਥੋਗਨਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਉਜਾਗਰ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਹੋਰ ਹਿੱਸਾ-ਕਰਨ-ਕ੍ਰਿਆ ਜੋ [2] ਵਿੱਚ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ:

ਕਿਸੇ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀਆਂ ਮੁਢਲਿਆਂ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਵਿੱਚ ਕਈ ਹੋਰ ਹਿੱਸਾ-ਕਰਨ-ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਸੰਭਵ ਹਨ।

ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ[ਸੋਧੋ]

ਹਵਾਲੇ[ਸੋਧੋ]

  1. Li, Chi-Kwong; Poon, Edward (2002). "Additive decomposition of real matrices". Linear and Multilinear Algebra. 50 (4): 321–326. doi:10.1080/03081080290025507. 
  2. Führ, Hartmut; Rzeszotnik, Ziemowit (2018). "A note on factoring unitary matrices". Linear Algebra and its Applications. 547: 32–44. ISSN 0024-3795. doi:10.1016/j.laa.2018.02.017. 

ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ[ਸੋਧੋ]