ਵਿਲਸਨ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ

ਵਿਲਸਨ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ
Named after	ਜਾਨ ਵਿਲਸਨ
Publication year	1938
Author of publication	ਇਮਾ ਲਹਿਮਰ
No. of known terms	3
First terms	5, 13, 563
Largest known term	563
OEIS index	A007540; ਵਿਲਸਨ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ: ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ p ਇਸਤਰ੍ਹਾ ਹੋਵੇ ਕਿ (p-1)! == -1 (mod p^2);

ਵਿਲਸਨ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ, ਦਾ ਨਾਮ ਅੰਗਰੇਜ਼ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸ਼ਤਰੀ ਜਾਨ ਵਿਲਸਨ, ਦੇ ਨਾਮ ਤੇ ਪਿਆ। ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ p ਇਸਤਰ੍ਹਾਂ ਹੈ ਕਿ p², (p − 1)! + 1 ਨੂੰ ਵੰਡਦਾ ਹੈ ਜਿਥੇ "!" ਦਾ ਮਤਲਵ ਕ੍ਰਮਗੁਣਿਤ ਹੈ: ਇਸ ਦਾ ਮਿਲਾਣ ਵਿਲਸਨ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨਾਲ ਕਰੋ ਜਿਸ ਦੀ ਪ੍ਰੀਭਾਸ਼ਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ p, (p − 1)! + 1 ਨੂੰ ਵੰਡਦੀ ਹੈ।

ਹੁਣ ਤੱਕ ਦੇ ਵਿਲਸਨ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ 5, 13, ਅਤੇ 563 ਹਨ। ਜੇ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸੰਖਿਆ ਹੈ ਤਾਂ ਉਹ ਸੰਖਿਆ 2×10¹³ ਤੋਂ ਵੱਡੀ ਹੋਵੇਗੀ।^[2] ਹੁਣ ਤੱਕ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਕੰਪਿਉਟਰ ਮਾਹਰਾਂ ਨੇ ਹੋਰ ਵਿਲਸਨ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕੀਤੀ ਹੈ ਪਰ ਸਫਲ ਨਹੀਂ ਹੋਏ।^[3]^[4]^[5]

Generalizations

ਵਿਲਸਨ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਆਰਡਰ ਨੰ $n$

ਵਿਲਸਨ ਪ੍ਰਮੇਯ ਨੂੰ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: ਹਰੇਕ ਪੂਰਨ ਸੰਖਿਆ $n\geq 1$ ਅਤੇ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ $p\geq n$ ਲਈ $(n-1)!(p-n)!\equiv (-1)^{n}\ {\bmod {p}}$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਆਰਡਰ $n$ ਦਾ ਵਿਲਸਨ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇਗੀ ਜੇ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ $p$ ਇਸਤਰ੍ਹਾ ਹੈ ਕਿ $p^{2}$ divides $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ ।

$n$	prime $p$ ਤਾਂ ਕਿ $p^{2}$ , $(n-1)!(p-n)!-(-1)^{n}$ ਨੂੰ ਵੰਡਦਾ ਹੈ।(10000 ਤੱਕ ਲੱਭਿਆ ਗਿਆ ਹੈ)	OEIS ਤਰਤੀਬ
1	5, 13, 563, ...	ਫਰਮਾ:OEIS link
2	2, 3, 11, 107, 4931, ...	ਫਰਮਾ:OEIS link
3	7, ...
4	10429, ...
5	5, 7, 47, ...
6	11, ...
7	17, ...
8	...
9	541, ...
10	11, 1109, ...
11	17, 2713, ...
12	...
13	13, ...
14	...
15	349, ...
16	31, ...
17	61, 251, 479, ...	ਫਰਮਾ:OEIS link
18	13151527, ...
19	71, ...
20	59, 499, ...
21	217369, ...
22	...
23	...
24	47, 3163, ...
25	...
26	97579, ...
27	53, ...
28	347, ...
29	...
30	137, 1109, 5179, ...

Least generalized Wilson prime of order n are

5, 2, 7, 10429, 5, 11, 17, ... (The next term > 1.4×10⁷) (ਓਈਆਈਐੱਸ ਵਿੱਚ ਤਰਤੀਬ A128666)

Near-Wilson primes

$p$	$B$
1282279	+20
1306817	−30
1308491	−55
1433813	−32
1638347	−45
1640147	−88
1647931	+14
1666403	+99
1750901	+34
1851953	−50
2031053	−18
2278343	+21
2313083	+15
2695933	−73
3640753	+69
3677071	−32
3764437	−99
3958621	+75
5062469	+39
5063803	+40
6331519	+91
6706067	+45
7392257	+40
8315831	+3
8871167	−85
9278443	−75
9615329	+27
9756727	+23
10746881	−7
11465149	−62
11512541	−26
11892977	−7
12632117	−27
12893203	−53
14296621	+2
16711069	+95
16738091	+58
17879887	+63
19344553	−93
19365641	+75
20951477	+25
20972977	+58
21561013	−90
23818681	+23
27783521	−51
27812887	+21
29085907	+9
29327513	+13
30959321	+24
33187157	+60
33968041	+12
39198017	−7
45920923	−63
51802061	+4
53188379	−54
56151923	−1
57526411	−66
64197799	+13
72818227	−27
87467099	−2
91926437	−32
92191909	+94
93445061	−30
93559087	−3
94510219	−69
101710369	−70
111310567	+22
117385529	−43
176779259	+56
212911781	−92
216331463	−36
253512533	+25
282361201	+24
327357841	−62
411237857	−84
479163953	−50
757362197	−28
824846833	+60
866006431	−81
1227886151	−51
1527857939	−19
1636804231	+64
1686290297	+18
1767839071	+8
1913042311	−65
1987272877	+5
2100839597	−34
2312420701	−78
2476913683	+94
3542985241	−74
4036677373	−5
4271431471	+83
4296847931	+41
5087988391	+51
5127702389	+50
7973760941	+76
9965682053	−18
10242692519	−97
11355061259	−45
11774118061	−1
12896325149	+86
13286279999	+52
20042556601	+27
21950810731	+93
23607097193	+97
24664241321	+46
28737804211	−58
35525054743	+26
41659815553	+55
42647052491	+10
44034466379	+39
60373446719	−48
64643245189	−21
66966581777	+91
67133912011	+9
80248324571	+46
80908082573	−20
100660783343	+87
112825721339	+70
231939720421	+41
258818504023	+4
260584487287	−52
265784418461	−78
298114694431	+82

ਹਵਾਲੇ

↑ Lehmer, Emma (April 1938). "On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson" (PDF). Annals of Mathematics. 39 (2): 350–360. doi:10.2307/1968791. JSTOR 1968791. Retrieved 8 March 2011.
↑ A Search for Wilson primes Retrieved on November 2, 2012.
↑ McIntosh, R. (9 March 2004). "WILSON STATUS (Feb. 1999)". E-Mail to Paul Zimmermann. Retrieved 6 June 2011.
↑ A search for Wieferich and Wilson primes, p 443
↑ Ribenboim, P.; Keller, W. (2006). Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde (in German). Berlin Heidelberg New York: Springer. p. 241. ISBN 3-540-34283-4.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

[1] Lehmer, Emma (April 1938). "On congruences involving Bernoulli numbers and the quotients of Fermat and Wilson" (PDF). Annals of Mathematics. 39 (2): 350–360. doi:10.2307/1968791. JSTOR 1968791. Retrieved 8 March 2011.

[Search-2] A Search for Wilson primes Retrieved on November 2, 2012.

[3] McIntosh, R. (9 March 2004). "WILSON STATUS (Feb. 1999)". E-Mail to Paul Zimmermann. Retrieved 6 June 2011.

[4] A search for Wieferich and Wilson primes, p 443

[5] Ribenboim, P.; Keller, W. (2006). Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde (in German). Berlin Heidelberg New York: Springer. p. 241. ISBN 3-540-34283-4.{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Generalizations

ਵਿਲਸਨ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਆਰਡਰ ਨੰ n

Near-Wilson primes

ਹਵਾਲੇ

ਵਿਲਸਨ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆ ਆਰਡਰ ਨੰ $n$