ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨ

ਵਿਕੀਪੀਡੀਆ, ਇੱਕ ਅਜ਼ਾਦ ਗਿਆਨਕੋਸ਼ ਤੋਂ
(ਰੀਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਤੋਂ ਰੀਡਿਰੈਕਟ)
Jump to navigation Jump to search

ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ, ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਆਂਕੜਾ ਮਕੈਨਿਕਸ, ਅਤੇ ਸਵੈ-ਸਮਾਨ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਬਣਤਰਾਂ ਦੀ ਥਿਊੇਰੀ ਵਿੱਚ ਰੀਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਤਕਨੀਕਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਵਿੱਚੋਂ ਕੋਈ ਤਕਨੀਕ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਪਤਾ ਕੀਤੀਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਆਉਣ ਵਾਲੇ ਅਨੰਤਾਂ (ਇਨਫਿਨਟੀਆਂ) ਨਾਲ ਨਜਿੱਠਣ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਇਤਿਹਾਸ[ਸੋਧੋ]

ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਇਤਿਹਾਸ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ ਕਈ ਨੁਕਸਾਨ ਦਾਇਨ ਨਾ ਦਿਸਣ ਵਾਲੀਆਂ ਗਿਣਤੀਆਂ, ਜਿਵੇਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਦੀ ਹਾਜ਼ਰੀ ਕਾਰਨ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਨ ਦੀ ਊਰਜਾ ਵਿੱਚ ਬੇਤਰਤੀਬੀ (perturbative) ਤਬਦੀਲੀ, ਅਨੰਤ ਨਤੀਜੇ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ| ਕਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਊਰਜਾ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਲਈ ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਹੋਰ ਊਰਜਾਂ ਲੈਵਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਥੋੜੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਤੇ ਅਨੰਤ ਕਈ ਲੈਵਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਯੋਗਦਾਨ ਪਾਉਂਦਾ ਹੈ|

ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਈ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਕਲਾਸੀਕਲ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮੈਕਸ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ ਜੋ ਪਛਾਣੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਨ ਪਰ 19ਵੀਂ ਸਦੀ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ, ਅਤੇ ਉਹ ਮੁਢਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੋਈਆਂ ਹਨ ਕਿ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀਆਂ ਮੰਨੀਆਂ ਗਈਆਂ ਕਈ ਅੰਦਰੂਨੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਇਸਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇਸਦੇ ਰਾਹੀਂ ਰੱਖੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਹਨ| ਇੱਕ ਇੱਕਲੌਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਰਾਹੀਂ ਰੱਖੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਊਰਜਾ- ਇਸਦੀ ਸਵੈ-ਊਰਜਾ- ਹੀ ਇੱਕਮਾਤਰ ਮਾਤਰਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਇਸਦੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਊਰਜਾ ਵੀ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਇਸਦੇ ਹਾਜ਼ਰ ਫੋਟੌਨਾਂ ਦਾ ਬੱਦਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ| ਇੱਕ ਗੋਲ ਸੋਮੇ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿਚਲੀ ਊਰਜਾ ਪੁਰਾਤਨ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੋਹਾਂ ਵਿੱਚ ਝੁਕਦੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਜਿਵੇਂ ਫੁਰੱਰੀ ਦੀ ਮਦੱਦ ਨਾਲ ਵੇਸਕੋਪਫ ਦੁਆਰਾ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਝੁਕਾਓ ਬਹੁਤ ਮਮੂਲੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਿਰਫ ਗੋਲੇ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ (logarithm) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ|

ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ, ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਟੱਕਲਬਰਗ ਦੁਆਰਾ ਸੁਝਾਇਆ ਗਿਆ, ਲੈਂਬ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਤੋਂ ਬਾਦ ਬੈਥ ਦੁਆਰਾ ਵਿਆਕਤੀਗਤ ਤੌਰ ਤੇ, ਸ਼ਵਿੰਗਰ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਲੂਪ ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ, ਅਤੇ ਸਿਸਟੇਮੈਟਿਕ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਾਰੇ ਲੂਪਾਂ ਤੇ ਫੇਨਮੈਨ ਅਤੇ ਡੇਸਨ ਦੁਆਰਾ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ, ਜਪਾਨ ਦੇ ਯੁੱਧ ਤੋਂ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਅਲੱਗ ਤੌਰ ਤੇ ਟੋਮੋਨਾਗਾ ਦੁਆਰਾ ਇਕਾਗਰਤਾ ਵਾਲੇ ਕੰਮ ਨਾਲ, ਇਹ ਪਛਾਣ ਮਿਲੀ ਕਿ ਫੋਟੌਨਾਂ ਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਅਨੰਤ ਪਰਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਪੁਨਰ-ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੀਮਤ ਨੰਬਰ ਵਿੱਚ ਅਲੱਗ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ: ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਅਤੇ ਚਾਰਜ: ਇਸਨੂੰ ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ| ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨ ਦੀ ਤਕਨੀਕ ਪਛਾਣਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਮੱਸਿਆ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਜਰੂਰ ਹੀ ਗਣਿਤਿਕ ਹੈ, ਕਿ ਹੱਦ ਦੀਆਂ ਛੋਟੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਗਲਤੀ ਤੇ ਹਨ| ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਥਿਊਰੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਫੀਲਡਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੱਟ-ਔਫ ਰੱਖੋ, ਇਹ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਕੁਆਂਟਿਆਂ ਕੋਲ ਕੁੱਝ ਹੱਦ ਦੀ ਉੱਚ ਮਾਤਰਾ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਊਰਜਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ| ਇਸ ਕੋਲ ਨਿਰੰਤਰ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਣਤਰ ਰਾਹੀਂ ਬਦਲਣ ਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਬਹੁਤ ਛੋਟੀ ਤਰੰਗ ਲੰਬਾਈ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਜਾਲੀ ਉੱਤੇ| ਜਾਲੀਆਂ ਘੁੰਮਣ ਸਮਰੂਪਤਾ ਤੋੜ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਫੇਨਮੇਨ, ਪੌਲੀ ਅਤੇ ਵਿੱਲਰਜ਼ ਦੁਆਰਾ ਪਾਏ ਨਿਰਣਾਇਕ ਯੋਗਦਾਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਯੋਗਦਾਨ, ਜਿਸਦਾ ਟੀ’ਹੂਫਟ ਅਤੇ ਵੈਲੱਟਮੈਨ ਰਾਹੀਂ ਨਵੀਨੀਕਕਰਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ, ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮਰੂਪਤਾ ਸਥਿਰਤਾ ਕੱਟ-ਔਫ ਹੈ {ਇਸ ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਆ ਨੂੰ ਨਿਯਮਤੀਕਰਨ (regularization) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ }| ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰੀ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਮਰੂਪ ਕੱਟ-ਔਫ ਨਹੀਂ ਗਿਆਤ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਸਖਤ ਜਾਂ ਸੰਖਿਅਕ ਕੰਮ ਲਈ ਲੋਕ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਅਸਲੀ ਜਾਲੀ ਵਰਤਦੇ ਹਨ|

ਇੱਕ ਜਾਲੀ ਉੱਤੇ, ਹਰੇਕ ਮਾਤਰਾ ਸੀਮਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਪਰ ਵਿੱਥਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ| ਜਦੋਂ 0 ਸਪੇਸਿੰਗ ਦੀ ਹੱਦ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਭੌਤਿਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਜਾਂਚਯੋਗ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਜਾਂਚੇ ਗਏ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦਾ ਪੁੰਜ ਵਾਂਗ ਫਿਕਸ ਰਹਿਣ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਥਿਊਰੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਰਹੇ ਲਗਰੇਂਜੀਅਨ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਵਿੱਥਾਂ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ| ਉਮੀਦ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਜਾਲੀ ਦੀਆਂ ਵਿੱਥਾਂ ਨਾਲ ਸਥਿਰ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇ ਕੇ, ਲੰਬੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਤੇ ਸਾਰੇ ਨਤੀਜੇ ਜਾਲੀ ਲਈ ਅਸਵੇਂਦਨਸ਼ੀਲ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀ ਹੱਦ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ|

ਵਰਤੋਂ[ਸੋਧੋ]

ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨ ਵਿਧੀ ਕੇਵਲ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਲਈ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨਯੋਗ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ| ਇੱਕ ਥਿਊਰੀ ਬੇਤਰਤੀਬੀ ਤੌਰ ਤੇ ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨਯੋਗ (perturbatively renormalizable) ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਲਗਰੇਂਜੀਅਨ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਬਹੁਤ ਥੋੜੀਆਂ ਵਿੱਥਾਂ ਲਈ ਜਾਲੀਦਾਰ ਵਿੱਥਾਂ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ (logarithms) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਝੁਕ ਸਕਦੇ ਹਨ| ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਫੇਰ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀ ਹੱਦ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਗੈਰ-ਬੇਤਰਤੀਬੀ ਤੌਰ ਤੇ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਸਿਰਫ ਦੂਰੀ ਦੇ ਪੈਮਾਨਿਆਂ ਤੇ ਹੀ ਦਿਸਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਕਮਜੋਰ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਲਈ ਉਲਟ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਵਿੱਚ ਤੇਜੀ ਨਾਲ (exponentially) ਸੂਖਮ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ| ਪਾਰਟੀਕਲ ਫਿਜਿਕਸ ਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਮਾਡਲ ਬੇਤਰਤੀਬੀ ਤੌਰ ਤੇ ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨਯੋਗ ਹੈ, ਤੇ ਇਸਦੀਆਂ ਜਨਮਦਾਤਾ ਥਿਊਰੀਆਂ ਵੀ ਇਵੇਂ ਹੀ ਹਨ (ਕੁਆਂਟਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ/ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਵੀਕ ਥਿਊਰੀ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਕ੍ਰੋਮੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ)| ਤਿੰਨੇ ਜਨਮਦਾਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਕੁਆਂਟਮ ਕ੍ਰੋਮੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀ ਹੱਦ ਵਾਲੀ ਨਾ ਹੋਣਾ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ੀ ਤੌਰ ਤੇ ਮੁਕਤ SU(2) ਅਤੇ SU(3) ਕਮਜੋਰ ਹਾਈਪਰ-ਤਬਦੀਲੀ ਅਤੇ ਤਾਕਤਵਰ ਕਲਰ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਗੈਰ-ਬੇਤਰਤੀਬੀ ਤੌਰ ਤੇ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ|

ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨ ਗਰੁੱਪ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨਯੋਗ ਥਿਊਰੀਆਂ, ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਉੱਚ-ਊਰਜਾ ਥਿਊਰੀ ਲਈ, ਲੰਬੀ ਦੂਰੀ ਵਾਲੀ ਨਿਮਰ-ਊਰਜਾ ਦੀ ਪ੍ਰਭਾਵੀ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੈਦਾ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ| ਇਸਦੇ ਕਾਰਨ, ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨਯੋਗ ਥਿਊਰੀਆਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਉੱਚ-ਊਰਜਾ ਵਾਲੇ ਸੂਖਮ-ਦੂਰੀ ਘਟਨਾਕ੍ਰਮ ਦੇ ਸਹੀ ਸਹੀ ਸੁਭਾਅ ਪ੍ਰਤਿ ਅਸਵੇਂਦਨਸ਼ੀਲ ਹਨ| ਇਹ ਇੱਕ ਵਰਦਾਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਨੂੰ ਉੱਚ-ਊਰਜਾ ਵਾਲੇ ਘਟਨਾਕ੍ਰਮ ਦੇ ਵਿਵਰਣ ਨੂੰ ਜਾਣੇ ਬਗੈਰ ਹੀ ਨਿਮਰ-ਊਰਜਾ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਬਣਤਰ ਘੜਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ| ਇਹ ਇੱਕ ਸਰਾਪ ਵੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਟੈਂਡਰਡ ਮਾਡਲ ਵਰਗੀ ਕੋਈ ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨਯੋਗ ਥਿਊਰੀ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਪਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਉੱਚ-ਊਰਜਾ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਸੁਰਾਗ ਦਿੰਦੀ ਹੈ| ਸਟੈਂਡਰਡ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਉੱਚ ਊਰਜਾ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦਾ ਇੱਕੋ ਤਰੀਕਾ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਹ ਮਨਾ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਕਿਸੇ ਤਰੀਕੇ ਹੋਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਾਂ ਜੇਕਰ ਇਹ ਸੰਯੋਜਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਮਾਤ੍ਰਿਕ ਸਬੰਧਾਂ ਦਰਸਾਉਣ|