ਫ੍ਰੈਕਟਲ
 |
ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਇੱਕ ਜਿਆਮਿਤੀ ਸਰੂਪ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿਚੋਂ ਹਰ ਇੱਕ ਸੰਪੂਰਣ ਦਾ ਲਘੂ-ਸਰੂਪ ਹੈ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਗੁਣ ਜੋ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਕਹਾਂਦਾ ਹੈ। ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੇ ਨਿਰੋਲ ਗਣਿਤੀ ਉਪਚਾਰ ਦੀਆਂ ਜੜਾਂ ਕਾਰਲ ਵੇਇਰਸਟਰਾਸ, ਜਾਰਜ ਕੈਂਟਰ ਅਤੇ ਫੇਲਿਕਸ ਹੌਸਡਰਾਫ ਦੁਆਰਾ ਕੀਤੇ ਗਏ ਪ੍ਰਕਾਰਜਾਂ ਦੇ ਅਧਿਅਨ ਵਿੱਚ ਖੋਜੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੇ ਅਜਿਹੇ ਪ੍ਰਕਾਰਜਾਂ ਦਾ ਅਧਿਅਨ ਕੀਤਾ ਜੋ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਸਨ, ਪਰ ਵਿਭੇਦਕਾਰੀ ਨਹੀਂ; ਤਦ ਵੀ, 1975 ਵਿੱਚ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਲਈ ਅੰਗਰੇਜ਼ੀ ਸ਼ਬਦ fractal ਬੇਨੋਇਟ ਮੇਂਡੇਲਬਰਾਟ ਨੇ ਘੜਿਆ ਅਤੇ ਇਸ ਦੀ ਲੈਟਿਨ ਦੇ fractus ਤੋਂ ਵਿਉਤਪਤੀ ਹੋਈ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਜਾਂ ਖੰਡਿਤ। ਗਣਿਤੀ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਇੱਕ ਅਜਿਹੇ ਸਮੀਕਰਨ ਪਰ ਆਧਾਰਿਤ ਹੈ ਜੋ ਪੁਨਰ ਆਵਰਤੀ ਰਾਹੀਂ ਗੁਜਰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਪ੍ਰਤਿਵਰਤ ਪਰ ਆਧਾਰਿਤ ਇੱਕ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦਾ ਪ੍ਰਤੀਸੂਚਕ ਪ੍ਰਾਰੂਪ ਹੈ।
ਇੱਕ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਵਿੱਚ ਅਕਸਰ ਹੇਠ ਲਿਖੀਆਂ ਗੱਲਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ:
- ਇਸ ਵਿੱਚ ਮਨਮਾਨੇ ਢੰਗ ਨਾਲ ਛੋਟੇ ਪੈਮਾਨੇ ਤੇ ਇੱਕ ਉੱਤਮ ਸੰਰਚਨਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।
- ਇਹ ਕਾਫ਼ੀ ਅਨਿਯਮਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਸੌਖ ਨਾਲ ਰਵਾਇਤੀ ਯੂਕਲਿਡੀਅਨ ਜਿਆਮਿਤੀ ਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਬਿਆਨ ਨਹੀਂ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
- ਇਹ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਪੂਰਨ ਰੂਪ ਨਾ ਸਹੀ ਘੱਟ ਤੋਂ ਘੱਟ ਲੱਗਭੱਗ ਤੌਰ 'ਤੇ)।
- ਇਸ ਵਿੱਚ ਹੌਸਡਾਰਫ ਆਯਾਮ ਹੈ ਜੋ ਕਿ ਟੋਪੋਲੋਜੀਕਲ ਆਯਾਮ ਤੋਂ ਵੱਧ ਕੇ ਹੈ (ਹਾਲਾਂਕਿ ਹਿਲਬਰਟ ਵਕਰ ਵਰਗੀਆਂ ਖਾਲੀ - ਪੂਰਤੀ ਵਕਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਇਹ ਆਸ਼ਾ ਪੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ)।
- ਇਸ ਦੀ ਸਰਲ ਅਤੇ ਪੁਨਰ ਆਵਰਤੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਹੈ।
ਕਿਉਂਕਿ ਉਹ ਆਵਰਤਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਤਰਾਂ ਤੇ ਸਮਾਨ ਵਿਖਾਈ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਫ੍ਰੈਕਟਲਾਂ ਨੂੰ ਅਕਸਰ (ਗੈਰ ਰਸਮੀ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ) ਬਹੁਤ ਜ਼ਿਆਦਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੁਦਰਤੀ ਵਸਤੂਆਂ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਹੱਦ ਤੱਕ ਫ੍ਰੈਕਟਲਾਂ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ ਬਦਲ, ਪਰਬਤ ਲੜੀਆਂ, ਵਜਰਪਾਤ, ਤਟ-ਰੇਖਾਵਾਂ, ਹਿਮਲਵ, ਵੱਖ ਵੱਖ ਸਬਜੀਆਂ (ਫੁੱਲਗੋਭੀ ਅਤੇ ਬਰੋਕੋਲੀ), ਅਤੇ ਜਾਨਵਰ ਦੇ ਰੰਗਾਈ ਪੈਟਰਨ। ਬਹਰਹਾਲ, ਸਾਰੀਆਂ ਸਵੈ-ਸਮਾਨ ਵਸਤੂਆਂ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਨਹੀਂ ਹਨ — ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਲਈ, ਅਸਲੀ ਰੇਖਾ (ਇੱਕ ਸਿੱਧੀ ਯੂਕਲਿਡੀਅਨ ਰੇਖਾ) ਰਸਮੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪ ਹੈ ਲੇਕਿਨ ਇਸ ਵਿੱਚ ਹੋਰ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ; ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਇਹ ਸਮਰੱਥ ਤੌਰ 'ਤੇ ਨਿਯਮਿਤ ਹੈ ਕਿ ਇਸਨੂੰ ਯੂਕਲਿਡੀਅਨ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੀਆਂ ਛਵੀਆਂ ਫ੍ਰੈਕਟਲ - ਵਿਉਤਪਾਦਕ ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਦੁਆਰਾ ਤਿਆਰ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੇ ਸਾਫਟਵੇਅਰ ਦੁਆਰਾ ਉਤਪਾਦਿਤ ਛਵੀਆਂ ਨੂੰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਕਹਿ ਕੇ ਸੰਦਰਭਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਭਲੇ ਹੀ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰੋਕਤ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਨਾ ਹੋਣ, ਜਿਵੇਂ ਕਿ ਜਦੋਂ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੇ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਨੂੰ ਜੂਮ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਉਹ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੀ ਕਿਸੇ ਵੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਨੂੰ ਪ੍ਰਗਟ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੇ ਇਲਾਵਾ, ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਗਿਣਤੀ ਜਾਂ ਪ੍ਰਦਰਸ਼ਕ ਮਨੁੱਖ – ਨਿਰਮਿਤ ਵਸਤੂਆਂ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਕਿ ਅਸਲੀ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਨਹੀਂ ਹੈ।
ਇਤਹਾਸ
[ਸੋਧੋ]ਇੱਕ ਸਿਏਰਪਿੰਸਕੀ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦਾ ਏਨਿਮੇਟੇਡ ਨਿਰਮਾਣ, ਅਨੰਤ ਦੀਆਂ ਕੇਵਲ ਨੌਂ ਪੀੜੀਆਂ ਤੱਕ ਜਾਣ ਵਾਲੀ—ਵੱਡੀ ਛਵੀ ਲਈ ਕਲਿਕ ਕਰੋ। ਕੋਚ ਹਿਮਲਵ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਲਈ, ਇੱਕ ਸਮਬਾਹੂ ਤ੍ਰਿਭੁਜ ਦੇ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂਆਤ ਕਰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਫਿਰ ਹਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਦੇ ਵਿਚਕਾਰ ਤੀਸਰੇ ਨੂੰ ਰੇਖਾ ਖੰਡੀਆਂ ਦੀ ਜੋੜੀ ਤੋਂ ਸਥਾਨਾਪਤਰ ਕਰਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਇੱਕ ਸਮਬਾਹੂ ਉਭਾਰ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਅਨੰਤ ਤੱਕ, ਪਰਿਣਾਮੀ ਹਰ ਇੱਕ ਰੇਖਾ ਖੰਡ ਪਰ ਉਹੀ ਸਥਾਨਾਪਤਰ ਨਿਸ਼ਪਾਦਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।ਹਰ ਪੁਨਰਾਵ੍ਰੱਤੀ ਦੇ ਨਾਲ, ਇਸ ਸਰੂਪ ਦੀ ਪ੍ਰਕਾਸ਼ ਮੰਡਲ ਪਿੱਛਲੀ ਲੰਮਾਈ ਦੇ ਇੱਕ ਤਿਹਾਈ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਕੋਚ ਹਿਮਲਵ ਇਨ੍ਹਾਂ ਪੁਨਰ ਆਵਿਰਤੀਆਂ ਦੀ ਅਨੰਤ ਗਿਣਤੀ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸ ਦੀ ਲੰਮਾਈ ਅਨੰਤ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਇਸ ਦਾ ਖੇਤਰ ਪਰਿਮਿਤ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਨ ਤੋਂ, ਕੋਚ ਹਿਮਲਵ ਅਤੇ ਸਮਰੂਪ ਉਸਾਰੀ ਕਦੇ - ਕਦੇ ਪੈਸ਼ਾਚਿਕ ਵਕਰ ਕਹਾਂਦੇ ਸਨ।
17ਵੀਂ ਸਦੀ ਵਿੱਚ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੇ ਅਨੁਰੂਪ ਹਿਸਾਬ ਨੇ ਸਰੂਪ ਲੈਣਾ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ ਜਦੋਂ ਗਣਿਤਗਿਆਤਾ ਅਤੇ ਦਾਰਸ਼ਨਕ ਗਾਟਫਰਾਇਡ ਲੇਇਬਨਿਜ ਨੇ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਪਰ ਵਿਚਾਰ ਕੀਤਾ (ਹਾਲਾਂਕਿ ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਇਹ ਸੋਚਣ ਦੀ ਗਲਤੀ ਕੀਤੀ ਕਿ ਇਸ ਅਰਥ ਵਿੱਚ ਕੇਵਲ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪ ਹੈ)।
1872 ਵਿੱਚ ਜਾਕੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਜ਼ਾਹਰ ਹੋਇਆ, ਜਿਸਦੇ ਗਰਾਫ ਨੂੰ ਅੱਜ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਾਰਲ ਵੇਇਅਰਸਟਰੈਸ ਨੇ ਹਰ ਜਗ੍ਹਾ ਹਮੇਸ਼ਾ ਲੇਕਿਨ ਕਿਤੇ ਵੀ ਜੋ ਵਿਭੇਦਕਾਰੀ ਨਾ ਹੋਵੇ ਅਜਿਹੇ ਅਸਹਿਜ ਗੁਣ ਸਹਿਤ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਉਦਾਹਰਨ ਦਿੱਤਾ। 1904 ਵਿੱਚ, ਹੇਲਜ ਵਾਨ ਕੋਚ ਨੇ ਵੇਇਅਰਸਟਰੈਸ ਦੀ ਨਿਰਪੇਖ ਅਤੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣਾਤਮਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟ ਹੋਕੇ, ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦੇ ਫੰਕਸ਼ਨ ਲਈ ਜਿਆਦਾ ਜਿਆਮਿਤੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਿੱਤੀ, ਜੋ ਅੱਜ ਕੋਚ ਵਕਰ ਕਹਾਂਦਾ ਹੈ। (ਸੱਜੇ ਵੱਲ ਛਵੀ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਕੋਚ ਵਕਰ ਨਾਲ ਪਾਏ ਗਏ ਹਨ ਜੋ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਕੋਚ ਹਿਮਲਵ ਕਹਿਲਾਉਣ ਵਾਲੇ ਸਰੂਪ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕਰਦਾ ਹੈ) ਵਾਕਲਾ ਸਿਏਰਪਿੰਸਕੀ ਨੇ 1915 ਵਿੱਚ ਤਿਕੋਣ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਾਲ ਬਾਅਦ, ਆਪਣੇ ਕਾਰਪੇਟ ਦੀ ਰਚਨਾ ਕੀਤੀ। ਮੂਲ ਤੌਰ 'ਤੇ ਇਸ ਜਿਆਮਿਤੀ ਫ੍ਰੈਕਟਲਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਆਧੁਨਿਕ ਨਿਰਮਾਣਾ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਿੱਧ 2D ਆਕਾਰਾਂ ਦੇ ਬਜਾਏ ਵਕਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸੀ। ਸਵੈ ਸਮਰੂਪ ਵਕਰਾਂ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਨੂੰ ਪਾਲ ਪਿਏਰੇ ਲੇਵੀ ਨੇ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੇ ਆਪਣੇ 1938 ਦੇ ਲੇਖ ਪਲੇਨਰ ਸਪੇਸ ਕਰਵਸ ਐਂਡ ਸਰਫੇਸਸ ਕੰਸਿਸਟਿੰਗ ਆਫ ਪਾਰਟਸ ਸਿਮਿਲਰ ਟੂ ਦ ਹੋਲ ਵਿੱਚ ਨਵੇਂ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਵਕਰ ਨੂੰ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ, ਜੋ ਲੇਵੀ C ਵਕਰ ਕਹਾਂਦਾ ਹੈ। ਜਾਰਜ ਕੈਂਟਰ ਨੇ ਗ਼ੈਰ-ਮਾਮੂਲੀ ਗੁਣਾਂ ਦੇ ਨਾਲ ਅਸਲੀ ਰੇਖਾ ਦੇ ਉਪ – ਸਮੁੱਚਾਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਵੀ ਦਿੱਤੇ—ਇਸ ਕੈਂਟਰ ਸਮੁੱਚਾਂ ਨੂੰ ਵੀ ਹੁਣ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਮਾਨਤਾ ਮਿਲੀ ਹੈ।
19ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਉੱਤਰ ਅਧ ਅਤੇ 20ਵੀਂ ਸਦੀ ਦੇ ਅਰੰਭ ਵਿੱਚ ਹੇਨਰੀ ਪੋਇਨਕੇਇਰ, ਫੇਲਿਕਸ ਕਲੀਨ, ਪਿਏਰੇ ਫਟਾਉ ਅਤੇ ਗੈਸਟਨ ਜੂਲਿਆ ਦੁਆਰਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਪੱਧਰਾ ਵਿੱਚ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕੀਤੀ ਗਈ। ਆਧੁਨਿਕ ਕੰਪਿਊਟਰ ਗਰਾਫਿਕਸ ਦੀ ਸਹਾਇਤਾ ਦੇ ਬਿਨਾਂ, ਤਦ ਵੀ, ਉਹਨਾਂ ਦੁਆਰਾ ਖੋਜੀਆਂ ਗਈਆਂ ਕਈ ਵਸਤਾਂ ਦੇ ਸੌਂਦਰਿਆ ਦੀ ਕਲਪਨਾ ਕਰਨ ਦੇ ਸਾਧਨਾਂ ਦੀ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਕੋਲ ਕਮੀ ਸੀ।
1960 ਦੇ ਦਹਾਕੇ ਵਿੱਚ, ਬੇਨੋਇਟ ਮੈਂਡੇਲਬਰਾਟ ਨੇ ਹਾਊ ਲਾਂਗ ਇਜ ਦ ਕੋਸਟ ਆਫ ਬ੍ਰਿਟੇਨ ? ਵਰਗੇ ਕਾਗਜਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਛਾਨਬੀਨ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰ ਦਿੱਤੀ।ਸਟੈਟਿਸਟੀਕਲ ਸੇਲਫ - ਸਿਮਿਲੈਰਿਟੀ ਐਂਡ ਫਰੈਕਸ਼ਨਲ ਡਾਇਮੇਸ਼ਨ, ਜੋ ਲਿਉਇਸ ਫਰਾਇ ਰਿਚਰਡਸਨ ਦੇ ਪਿਛਲੇ ਕਾਰਜ ਤੇ ਆਧਾਰਿਤ ਸੀ। ਅੰਤ ਵਿੱਚ, 1975 ਵਿੱਚ ਮੈਂਡਲਬਰਾਟ ਨੇ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਨਿਰੂਪਤ ਕਰਨ ਦੇ ਲਈ, ਜਿਸਦਾ ਹੌਸਡਾਰਫ - ਬੇਸਿਕੋਵਿੱਚ ਆਯਾਮ ਉਸ ਦੇ ਟੋਪੋਲੋਜੀਕਲ ਆਯਾਮ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਹੈ, ਫਰੈਕਟਲ ਸ਼ਬਦ ਘੜਿਆ। ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਇਸ ਗਣਿਤੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਨੂੰ ਗ਼ੈਰ-ਮਾਮੂਲੀ ਕੰਪਿਊਟਰ - ਨਿਰਮਿਤ ਕਲਪਨਾ ਸਹਿਤ ਉਦਾਹਰਨ ਸਹਿਤ ਵਰਣਿਤ ਕੀਤਾ। ਇਨ੍ਹਾਂ ਛਵੀਆਂ ਨੂੰ ਲੋਕ ਕਲਪਨਾ ਨੇ ਕਬੂਲ ਕੀਤਾ ; ਜਿਹਨਾਂ ਵਿਚੋਂ ਕਈ ਪ੍ਰਤਿਵਰਤ ਪਰ ਆਧਾਰਿਤ ਸਨ, ਜੋ ਫਰੈਕਟਲ ਸ਼ਬਦ ਦੇ ਪ੍ਰਚੱਲਤ ਮੰਤਵ ਨੂੰ ਸਪੱਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।
ਉਦਾਹਰਨ
[ਸੋਧੋ]ਇੱਕ ਜੂਲਿਆ ਸੇਟ, ਮੈਂਡਲਬਰਾਟ ਸੇਟ ਤੋਂ ਸਬੰਧਤ ਇੱਕ ਟੁੱਟਿਆ ਹੋਇਆ
ਕੈਂਟਰ ਸੇਟ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਵਰਗ ਜਿਹਾ ਸਾਇਰਪਿੰਸਕੀ ਤਿਕੋਣ ਅਤੇ ਕਾਰਪੇਟ, ਮੰਜਰ ਸਪਾਂਜ, ਡਰੈਗਨ ਵਕਰ, ਸਥਾਨ - ਪੂਰਤੀ ਵਕਰ, ਅਤੇ ਕੋਚ ਵਕਰ ਦਿੱਤਾ ਗਿਆ ਹੈ। ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੇ ਇਲਾਵਾ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ ਲਾਇਅਪੁਨੋਵ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਅਤੇ ਕਲੀਨਿਅਨ ਸਮੂਹਾਂ ਦੇ ਸੀਮਿਤ ਸੇਟ। ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਨਿਰਧਾਰਕ (ਉੱਪਰੋਕਤ ਸਾਰੇ) ਜਾਂ ਪ੍ਰਸੰਭਾਤਿਅ (ਅਰਥਾਤ ਅਨਿਰਧਾਰਕ) ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਲਈ, ਪੱਧਰਾ ਵਿੱਚ ਬਰਾਉਨੀਅਨ ਰਫ਼ਤਾਰ ਦੇ ਸਮਛੇਦੀ ਵਿੱਚ 2 ਦਾ ਹੌਸਡਰਾਰਫ ਆਯਾਮ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੇ ਨਾਲ ਕਦੇ - ਕਦੇ ਅੱਗੜ ਦੁਗੜ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਜੁੜੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਪ੍ਰਾਵਸਥਾ ਕਾਲ ਵਿੱਚ ਵਸਤੂਆਂ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ (ਵੇਖੋ ਅਟਰੈਕਟਰ)। ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੇ ਵਰਗ ਹੇਤੁ ਪ੍ਰਾਚਲ ਕਾਲ ਵਿੱਚ ਵੀ ਵਸਤੂਆਂ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਦਿਲਚਸਪ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ਮੈਂਡੇਲਬਰਾਟ ਸੇਟ। ਇਸ ਸੇਟ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ ਪੂਰੇ ਡਿਸਕ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਸ ਦੇ 2 ਦੇ ਟੋਪੋਲੋਜੀਕਲ ਆਯਾਮ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੌਸਡਾਰਫ ਆਯਾਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ - ਪਰ ਵਾਸਤਵ ਵਿੱਚ ਅੰਚਭੇ ਵਿੱਚ ਪਾਉਣ ਵਾਲੀ ਗੱਲ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਮੈਂਡੇਲਬਰਾਟ ਸੇਟ ਦੀ ਸੀਮਾ ਵਿੱਚ ਵੀ 2 ਦਾ ਹੌਸਡਾਰਫ ਆਯਾਮ (ਜਦੋਂ ਕਿ 1 ਦਾ ਟੋਪੋਲੋਜੀਕਲ ਆਯਾਮ) ਮੌਜੂਦ ਹੈ, ਜੋ ਨਤੀਜਾ 1991 ਵਿੱਚ ਮਿਤਸੁਹਿਰੋ ਸ਼ਿਸ਼ਿਕੁਰਾ ਨੇ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ। ਇੱਕ ਨਜ਼ਦੀਕ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਹੈ ਜੂਲਿਆ ਸੇਟ।
ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਸਿਰਜਣ
[ਸੋਧੋ]ਪੂਰਾ ਮੈਂਡਲਬਰਾਟ ਸੇਟ ਮੈਂਡਲਬਰਾਟ ਜੂਮ 6x ਮੈਂਡਲਬਰਾਟ ਜੂਮ 100x ਮੈਂਡਲਬਰਾਟ ਜੂਮ 2000xਇੱਥੇ ਤੱਕ ਕਿ ਮੈਂਡੇਲਬਰਾਟ ਸੇਟ ਦਾ 2000 ਗੁਣਾ ਆਵਰਧਨ ਵੀ ਪੂਰੇ ਸੇਟ ਦੇ ਸਮਰੂਪ ਵਧੀਆ ਟੀਕਾ ਦਿਖਾਂਦਾ ਹੈ।
ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਨਿਰਮਾਣ ਦੀਆਂ ਚਾਰ ਆਮ ਤਕਨੀਕਾਂ ਹਨ:
1. ਪਲਾਇਨ ਕਾਲ ਫ੍ਰੈਕਟਲ - (ਜੋ ਆਰਬਿਟਸ ਫਰੈਕਟਲ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪ੍ਰਸਿੱਧ ਹਨ) ਇਸਨੂੰ ਆਯਾਮ ਜਾਂ ਕਾਲ ਦੇ ਹਰ ਇੱਕ ਬਿੰਦੂ ਪਰ ਆਵਰਤਕ ਸੰਬੰਧ ਦੁਆਰਾ (ਸੰਸ਼ਲਿਸ਼ਟ ਪੱਧਰਾ ਜਿਵੇਂ) ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਹਨ ਮੈਂਡੇਲਬਰਾਟ ਸੇਟ, ਜੂਲਿਆ ਸੇਟ, ਦੁਖੀ ਪੋਤ ਫ੍ਰੈਕਟਲ, ਨੋਵਾ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਅਤੇ ਲਾਇਪੁਨੋਵ ਫ੍ਰੈਕਟਲ। ਇੱਕ ਜਾਂ ਦੋ ਪਲਾਇਨ - ਕਾਲ ਸੂਤਰਾਂ ਦੀ ਪੁਨਰ ਆਵਿਰਤੀ ਦੁਆਰਾ ਜਨਿਤ 2d ਸਦਿਸ਼ ਖੇਤਰ ਵੀ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਸਰੂਪ ਦਾ ਸਿਰਜਣ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜਦੋਂ ਬਿੰਦੂਆਂ ਨੂੰ (ਯੋ ਪਿਕਸੇਲ ਡੇਟਾ) ਬਾਰਬਾਰ ਇਸ ਖੇਤਰ ਦੇ ਜਰੀਏ ਗੁਜਰਨ ਦਿਓ। 2. ਆਵਰਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ - ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਜਿਆਮਿਤੀ ਪ੍ਰਤਿਸਥਾਪਨ ਆਯਾਮ ਮੌਜੂਦ ਹੈ। ਕੈਂਟਰ ਸੇਟ, ਸਿਏਰਪਿੰਸਕੀ ਕਾਰਪੇਟ, ਸਿਏਰਪਿੰਸਕੀ ਗੈਸਕੇਟ, ਪੀਏਨੋ ਵਕਰ, ਕੋਚ ਹਿਮਲਵ, ਹਾਰਟਰ - ਹਾਈਵੇ ਡਰੈਗਨ ਵਕਰ, T - ਵਰਗ, ਮੇਂਜਰ ਸਪਾਂਜ, ਅਜਿਹੇ ਫ੍ਰੈਕਟਲਾਂ ਦੇ ਕੁੱਝ ਉਦਾਹਰਨ ਹਨ। 3. ਯਾਦ੍ਰੱਛਿਕ ਫ੍ਰੈਕਟਲ - ਨਿਰਧਾਰਕ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ ਨਹੀਂ ਸਗੋਂ ਪ੍ਰਸੰਭਾਤਿਅ ਦੁਆਰਾ ਸ੍ਰਜਿਤ ਹਨ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਲਈ, ਬਰਾਉਨੀਅਨ ਰਫ਼ਤਾਰ ਦੇ ਸਮਛੇਦੀ, ਲੇਵੀ ਫਲਾਇਟ, ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਪਰਿਦ੍ਰਸ਼ਿਅ ਅਤੇ ਬਰਾਉਨੀਅਨ ਰੁੱਖ। ਪਰਵਰਤੀ ਦੁਆਰਾ ਤਥਾਕਥਿਤ ਸਰੂਪ ਜਾਂ ਦਰੁਮਾਕ੍ਰਿਤੀਕ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਪੈਦਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਲਈ, ਪ੍ਰਸਾਰ - ਸੀਮਿਤ ਏਕਤਰੀਕਰਨ ਜਾਂ ਪ੍ਰਤੀਕਿਰਆ - ਸੀਮਿਤ ਏਕਤਰੀਕਰਨ ਸਮੂਹ। 4. ਅਜੀਬ ਅਟਰੈਕਟਰ - ਨਕਸ਼ੇ ਦੀ ਆਵਿਰਤੀ ਦੁਆਰਾ ਜਾਂ ਬੇਕਾਇਦਗੀ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੇ ਅਰੰਭਕ - ਮੁੱਲ ਵਿਭੇਦਕਾਰੀ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਦੀ ਪ੍ਰਣਾਲੀ ਦੇ ਸਮਾਧਾਨ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਮਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਵਰਗੀਕਰਨ
[ਸੋਧੋ]ਫ੍ਰੈਕਟਲਾਂ ਨੂੰ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ ਵੀ ਵਰਗੀਕ੍ਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫ੍ਰੈਕਟਲਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿੰਨ ਪ੍ਰਕਾਰ ਦੀਆਂ ਅਸਮਾਨਤਾਵਾਂ ਪਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ:
1. ਸਟੀਕ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ - ਇਹ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ ; ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਵੱਖ ਵੱਖ ਮੰਨੋ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਜਿਹਾ ਪ੍ਰਤੀਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਆਵਰਤਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਜਿਹੀ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਲਈ, ਸਿਏਰਪਿੰਸਕੀ ਤਿਕੋਣ ਅਤੇ ਕੋਚ ਹਿਮਲਵ ਏਕਸਮਾਨ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ। 2. ਅਰਧ - ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ - ਇਹ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਢਿੱਲਾ ਰੂਪ ਹੈ ; ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਵੱਖ ਵੱਖ ਮੰਨੋ ਪਰ ਲੱਗਭੱਗ (ਪਰ ਬਿਲਕੁੱਲ ਇੱਕ ਜਿਵੇਂ ਨਹੀਂ) ਸਮਾਨ ਲੱਗਦੇ ਹਨ। ਅਰਧ - ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਵਿੱਚ ਪੂਰੇ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੇ ਵਿਗੜਿਆ ਹੋਇਆ ਅਤੇ ਵਿਗੜੇ ਰੂਪਾਂ ਦੀ ਛੋਟੀ ਪ੍ਰਤੀਲਿਪੀਆਂ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਆਵਰਤਕ ਸਬੰਧਾਂ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਦਿਸ਼ਟ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਅਕਸਰ ਅਰਧ - ਸਵੈ ਸਮਰੂਪ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਬਿਲਕੁੱਲ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪ ਨਹੀਂ। ਮੈਂਡੇਲਬਰਾਟ ਸੇਟ ਇੱਕ ਅਰਧ - ਸਵੈ ਸਮਰੂਪ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਅਨੁਸ਼ੰਗੀ ਪੂਰੇ ਸੇਟ ਦੇ ਸੰਨਿਕਟਨ ਹਾਂ, ਪਰ ਸਟੀਕ ਪ੍ਰਤੀਲਿਪੀਆਂ ਨਹੀਂ। 3. ਸੰਖਿਕੀ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ - ਇਹ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਸਭ ਤੋਂ ਕਮਜੋਰ ਪ੍ਰਕਾਰ ਹੈ ; ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੇ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਜਾਂ ਸੰਖਿਕੀ ਮਾਪ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਨੂੰ ਪੈਮਾਨੀਆਂ ਪਰ ਰਾਖਵਾਂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਦੀਆਂ ਅਤਿ ਉਚਿਤ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸੰਖਿਕੀ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਕੋਈ ਨਾ ਕੋਈ ਰੂਪ ਸਤਹੀ ਤੌਰ ਪਰ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। (ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਆਯਾਮ ਆਪ ਹੀ ਇੱਕ ਸੰਖਿਆਤਮਕ ਮਾਪ ਹੈ ਜੋ ਪੈਮਾਨੇ ਪਰ ਰਾਖਵਾਂ ਹੈ।) ਯਾਦ੍ਰੱਛਿਕ ਫ੍ਰੈਕਟਲ, ਸੰਖਿਕੀ ਤੌਰ ਪਰ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪ ਫ੍ਰੈਕਟਲਾਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨ ਹਨ, ਪਰ ਸਟੀਕ ਜਾਂ ਅਰਧ - ਸਵੈ ਸਮਰੂਪ ਦੇ ਨਹੀਂ। ਬ੍ਰਿਟੇਨ ਦੇ ਸਮੁੰਦਰ ਤਟ ਇੱਕ ਅਤੇ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ ; ਕਿਸੇ ਆਵਰਧਕ ਸ਼ੀਸ਼ੇ ਤੋਂ ਤਟ ਦੇ ਇੱਕ ਛੋਟੇ ਖੰਡ ਨੂੰ ਵੇਖ ਕੇ ਖੁਰਦਬੀਨ ਬ੍ਰਿਟੇਨ (ਵਿਗੜਿਆ ਹੋਇਆ ਵੀ) ਵੇਖ ਪਾਣ ਦੀ ਆਸ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ।
ਕਿਸੇ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਕਹਿਣ ਲਈ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਹਾਜ਼ਰੀ ਹੀ ਇੱਕਮਾਤਰ ਕਸੌਟੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਸਵੈ ਸਮਰੂਪ ਵਸਤਾਂ ਦੇ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਜੋ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਨਹੀਂ ਹਨ, ਲਾਗਰਿਦਮਿਕ ਸਰਪਿਲ ਅਤੇ ਸਿੱਧੀਆਂ ਰੇਖਾਵਾਂ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਦੇ ਆਵਰਧਕ ਛੋਟੇ ਪੈਮਾਨਿਆਂ ਪਰ ਆਪਣੀ ਹੀ ਪ੍ਰਤੀਲਿਪੀਆਂ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਲਾਇਕ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਹਾਲਾਂਕਿ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਟੋਪੋਲੋਜੀਕਲ ਆਯਾਮ ਦੇ ਸਮਾਨ ਉਹੀ ਹੌਸਡਾਰਫ ਆਯਾਮ ਮੌਜੂਦ ਹੈ।
ਕੁਦਰਤ ਵਿੱਚ
[ਸੋਧੋ]ਕੁਦਰਤ ਵਿੱਚ ਲਾਗੇ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਸੌਖ ਤੋਂ ਪਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਵਸਤੂਆਂ ਇੱਕ ਫੈਲਿਆ, ਪਰ ਸੀਮਿਤ, ਪੈਮਾਨੇ ਦੀ ਸੀਮਾ ਵਿੱਚ ਸਵ - ਸਮਰੂਪ ਸੰਰਚਨਾ ਦਿਖਾਇਆ ਹੋਇਆ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ ਬੱਦਲ, ਹਿਮਾਲਾ, ਕਰਿਸਟਲ, ਪਹਾੜ ਲੜੀਆਂ, ਬਿਜਲੀ, ਨਦੀਆਂ ਦੇ ਜਾਲ, ਫੁਲ ਗੋਭੀ ਜਾਂ ਬਰੋਕੋਲੀ, ਅਤੇ ਖੂਨ ਰਗਾਂ ਅਤੇ ਪਲਮੋਨਰੀ ਵਾਹਿਕਾਵਾਂ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਣਾਲੀਆਂ।ਤੱਟੀ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਮੋਟੇ ਤੌਰ ਪਰ ਸਰੂਪ ਤੋਂ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਮੰਨਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।
ਰੁੱਖਾਂ ਅਤੇ ਫਰਨਾਂ ਦਾ ਸਰੂਪ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਏਲਗੋਰਿਦਮ ਦੇ ਵਰਤੋਂ ਦੁਆਰਾ ਕੰਪਿਊਟਰ ਪਰ ਪ੍ਰਤੀਰੂਪ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਪੁਨਰਾਵਰਤੀ ਪ੍ਰਕਿਰਤੀ ਇਨ੍ਹਾਂ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪੱਸ਼ਟ ਝਲਕਦੀ ਹੈ— ਇੱਕ ਰੁੱਖ ਦੀ ਸ਼ਾਖਾ ਜਾਂ ਫਰਨ ਦਾ ਪ੍ਰਪਰਣ ਸੰਪੂਰਣ ਦਾ ਲਘੂ ਪ੍ਰਤੀਰੂਪ ਹੈ: ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸ਼ਾਖਾ ਨਾਲ ਇੱਕ ਦਰਖਤ ਹੈ ਸਪੱਸ਼ਟ ਵਿੱਚ ਇਸ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਸਮਾਨ ਪ੍ਰਤੀਰੂਪ ਦੀ ਇੱਕ ਪੂਰੀ ਲਘੂ ਹੈ: ਸਮਾਨ ਨਹੀਂ, ਲੇਕਿਨ ਸਮਰੂਪ ਸਰੂਪ ਵਾਲੀ। ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਅਤੇ ਪੱਤੀਆਂ ਦੇ ਵਿੱਚ ਸੰਬੰਧ ਦਾ ਵਰਤਮਾਨ ਵਿੱਚ ਇਹ ਨਿਰਧਾਰਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸਤੇਮਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾ ਰਿਹਾ ਕਿ ਰੁੱਖਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿੰਨਾ ਕਾਰਬਨ ਰਖਿਆ ਹੋਇਆ ਹੈ। [ 5 ]
1999 ਵਿੱਚ, ਕੁੱਝ ਸਵੈ ਸਮਰੂਪ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਆਕਾਰਾਂ ਵਿੱਚ ਫਰੀਕਵੇਂਸੀ ਨਿਸ਼ਚਰਤਾ ਦਾ ਗੁਣ ਪਾਇਆ ਗਿਆ—ਮੈਕਸਵੇਲ ਸਮੀਕਰਣਾਂ ਤੋਂ—ਚਾਹੇ ਫਰੀਕਵੇਂਸੀ ਕੋਈ ਵੀ ਹੋ, ਉਹੀ ਏਕਸਮਾਨ ਬਿਜਲੀ ਚੁੰਬਕੀ ਗੁਣ (ਵੇਖੋ ਫ੍ਰੈਕਟਲ ਏੰਟੇਨਾ।