ਲਾਈ ਗਰੁੱਪ
ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪ ਉਹ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਇਹ ਗੁਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਗਰੁੱਪ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਸੁਚਾਰੂ ਬਣਤਰ ਦੇ ਅਨੁਕੂਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਲਾਈ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦਾ ਨਾਮ ਸੋਫਸ ਲਾਈ ਦੇ ਨਾਮ ਤੋਂ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਜਿਸਨੇ ਨਿਰੰਤਰ ਪਰਿਵਰਤਨ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਦੀਆਂ ਬੁਨਿਆਦਾਂ ਰੱਖੀਆਂ । ਸ਼ਬਦ ‘ਗਰੁਪਸ ਡਿ ਲਾਈ’ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਫਰਾਂਸ ਵਿੱਚ 1893 ਵਿੱਚ ਲਾਈ ਦੇ ਵਿਦਿਆਰਥੀ ਅਰਥੁਰ ਟਰੈਸੇ ਦੇ ਥੀਸਿਸ ਦੇ ਪੰਨਾ 3 ਉੱਤੇ ਦਿਸਿਆ ।
ਲਾਈ ਗਰੁੱਪ ਗਣਿਤਿਕ ਵਸਤੂਆਂ ਅਤੇ ਬਣਤਰਾਂ ਦੀ ਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਸਭ ਤੋਂ ਵਧੀਆ ਵਿਕਸਿਸ ਥਿਊਰੀ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਮਕਾਲੀਨ ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਅਜੋਕੀ ਸਿਧਾਂਤਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਹਿੱਸਿਆਂ ਵਾਸਤੇ ਬੇਸ਼ਕੀਮਤੀ ਔਜ਼ਾਰ ਬਣਾ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਸਮੀਕਰਨਾਂ (ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਗਾਲੋਇਸ ਥਿਊਰੀ) ਦੀਆਂ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵਾਸਤੇ ਇੱਕ ਕੁਦਰਤੀ ਢਾਂਚਾ ਮੁੱਹਈਆ ਕਰਵਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਬਿਲਕੁਲ ਉਸੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਜਿਵੇਂ ਅਲਜਬਰਿਕ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਦੀਆਂ ਅਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਵਾਸਤੇ ਗਾਲੋਇਸ ਥਿਊਰੀ ਅੰਦਰ ਪਰਮਿਊਟੇਸ਼ਨ ਗਰੁੱਪ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਨਿਰੰਤਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਲਈ ਗਾਲੋਇਸ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਇੱਕ ਸ਼ਾਖਾ ਲਾਈ ਦੇ ਮੁੱਖ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਸ੍ਰੋਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਸੀ।
ਸੰਖੇਪ ਸਾਰਾਂਸ਼ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ
[ਸੋਧੋ]
ਲਾਈ ਗਰੁੱਪ ਸੁਚਾਰੂ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸੇ ਕਾਰਣ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਕੈਲਕੁਲਸ ਵਰਤ ਕੇ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਨਾਲੋਂ ਉਲਟ ਗੱਲ ਹੈ। ਲਾਈ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਅੰਦਰਲੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਵਿਚਾਰਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਵਿਚਾਰ ਸੰਸਾਰਿਕ ਵਸਤੂ, ਗਰੁੱਪ, ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਸਥਾਨਿਕ ਜਾਂ ਰੇਖਿਕ ਵਰਜ਼ਨ ਨਾਲ ਬਦਲਨਾ ਹੈ, ਜੋ ਅਪਣੇ ਆਪ ਨੂੰ ਰੱਖਦਾ ਹੈ ਜਿਸਨੂੰ ਇਸਦਾ ‘ਅਤਿਸੂਖਮ ਗਰੁੱਪ’ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਜੋ ਉਦੋਂ ਤੋਂ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਕਿਹਾ ਜਾਣ ਲੱਗ ਪਿਆ ।