ਦੂਜੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ

ਦੂਜੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਬਹੁ-ਵਸਤੂ ਕੁਆਂਟਮ ਸਿਸਟਮਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਮ ਨਾਲ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਫੀਲਡਾਂ (ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ) ਨੂੰ ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸੋਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਬਿਲਕੁਲ ਉਵੇਂ ਹੀ ਜਿਵੇਂ ਭੌਤਿਕੀ ਮਾਤਰਾਵਾਂ (ਪੁਜ਼ੀਸ਼ਨ, ਮੋਮੈਂਟਮ ਆਦਿ) ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸੋਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਵਿਚਾਰ 1927 ਵਿੱਚ ਡੀਰਾਕ ਦੁਆਰਾ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ, ਅਤੇ ਫੌਕ ਅਤੇ ਜੌਰਡਨ ਰਾਹੀਂ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ।

ਦੂਜੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਰਚਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਬਿਆਨ ਕਰਾਂਗੇ| ਇਸ ਵਿੱਚ ਬੁਨਿਆਦੀ ਤੌਰ ਤੇ ਕਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਣ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਅਜ਼ਾਦੀ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਡਿਗਰੀ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਚੁਣਨਾ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੈ| ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ (Hamiltonian) ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣਤਰ ਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਹੈ|

ਕਈ ਹੋਰ ਪਹੁੰਚਾਂ ਵੀ ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਫੇਨਮੇਨ ਦਾ ਰਸਤਾ ਜੋੜ ਤਰੀਕਾ (ਪਾਥ ਇੰਟੀਗਰਲ) ਜੋ ਇੱਕ ਲਗਰੇਂਜੀਅਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣਤਰ ਵਰਤਦਾ ਹੈ| ਅਜਿਹੀ ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਲਈ ਪਰਿਮਾਣੀਕਰਨ (ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ) ਤੇ ਲੇਖ ਪੜੋ|

ਬੋਸੌਨ

ਸਰਲਤਾ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਬੋਸੌਨਾਂ ਲਈ ਦੂਜੀ ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ, ਜੋ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਸਮਰੂਪ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਰਚਦੇ ਹਨ| ਆਓ ਪਰਸਪਰ ਔਰਥੋਗੋਨਲ (mutually orthogonal) ਇੱਕਲੌਤੇ ਕਣ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ $|\phi _{1}\rangle ,|\phi _{2}\rangle ,|\phi _{3}\rangle ,$ ਰਾਹੀਂ ਲਿਖੀਏ ਜੋ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਸੰਭਵ ਹਨ| ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, $|\phi _{1}\rangle$ ਅਵਸਥਾ ਦੇ ਇੱਕ ਕਣ ਨਾਲ ਅਤੇ $|\phi _{2}\rangle$ ਅਵਸਥਾ ਦੇ ਦੋ ਕਣਾਂ ਨਾਲ ਬਣੀ 3-ਕਣ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

${\frac {1}{\sqrt {3}}}\left[|\phi _{1}\rangle |\phi _{2}\rangle |\phi _{2}\rangle +|\phi _{2}\rangle |\phi _{1}\rangle |\phi _{2}\rangle +|\phi _{2}\rangle |\phi _{2}\rangle |\phi _{1}\rangle \right].$

ਦੂਜੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਕਬਜ਼ਾ-ਸੰਖਿਆਵਾਂ (occupation numbers) ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੀਆਂ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਹੈ| ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕਲੌਤੇ ਕਣ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ $|\phi _{1}\rangle ,|\phi _{2}\rangle ,$ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਅਵਸਥਾ ਘੇਰਨ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਕਬਜ਼ਾ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀ ਬਣਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ| ਇਹ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨਾਮ ਦੇਣ ਦਾ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ|

ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਈ 3-ਕਣ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

$|1,2,0,0,0,\dots \rangle .$

ਇੱਕ N- ਕਣਾ ਅਵਸਥਾ N ਕਣਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦੀ ਹੈ| ਅਗਲਾ ਕਦਮ ਇੱਕ N-ਕਣ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਧਾਈ ਹੋਈ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਮਿਲਾਉਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਫੋਕ ਸਪੇਸ (Fock space) ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਣਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੀ ਹੈ| ਇਹ ਬਗੈਰ ਕਿਸੇ ਕਣ (ਵੈਕੱਮ ਅਵਸਥਾ, ਜਿਸ ਨੂੰ |0> ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸ ਅਤੇ 1-ਕਣ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸ ਦੇ ਜੋੜ ਦੀ ਬਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰਾਂ ਅੱਗੇ| ਕਣਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਫੋਕ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: ਫੋਕ ਸਪੇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਆਮ ਤੱਤ ਫੋਕ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਜੋੜ ਹੋਵੇਗਾ| ਫੋਕ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਬਜ਼ਾ-ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਬੋਸੋਨ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ-ਨਾਲ-ਇੱਕ ਸਿੱਧਾ ਸਬੰਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ|

ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੇ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮ ਸਾਡੇ ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਏ ਮੁਤਾਬਿਕ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ| ਫੀਲਡ ਦੀ ਅਜ਼ਾਦੀ ਵਾਲੀ ਮੁਢਲੀ ਡਿਗਰੀ ਕਬਜ਼ਾ-ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਕਬਜ਼ਾ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਨੰਬਰ j ਰਾਹੀਂ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕਲੌਤੇ ਕਣ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ $|\phi _{1}\rangle ,|\phi _{2}\rangle ,\dots ,|\phi _{j}\rangle ,\dots$ ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ;

$|N_{1},N_{2},N_{3},\dots ,N_{j},\dots \rangle .$

ਇਸ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਰਚਣ ਤੇ ਵਿਨਾਸ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਚਾਲਕਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਖੋਜੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਅਤੇ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਨ| ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਹਾਰਮੋਨੀਕ ਔਸੀਲੇਟਰ (quantum harmonic oscillator) ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਲੈਡਰ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਜੋ ਊਰਜਾ ਕੁਆਂਟਾ ਜੋੜਦੇ ਤੇ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਨ| ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਓਪਰੇਟਰ ਸੱਚਮੁੱਚ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਤੇ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਰਚਦੇ ਅਤੇ ਵਿਨਾਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ| ਬੋਸੌਨਿਕ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰੀ ਓਪਰੇਟਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਏ ਪ੍ਰਭਾਵ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਬਜ਼ਾ-ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿੱਚ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ;

$a_{2}|N_{1},N_{2},N_{3},\dots \rangle ={\sqrt {N_{2}}}\mid N_{1},(N_{2}-1),N_{3},\dots \rangle ,$

$a_{2}^{\dagger }|N_{1},N_{2},N_{3},\dots \rangle ={\sqrt {N_{2}+1}}\mid N_{1},(N_{2}+1),N_{3},\dots \rangle .$

ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਆਮ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਮਝ ਵਿਚਲੇ ਓਪਰੇਟਰ ਹਨ, ਯਾਨਿ ਕਿ ਫੋਕ ਸਪੇਸ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਹੇ ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਟਰ ਹਨ| ਹੋਰ ਅੱਗੇ, ਇਹ ਸੱਚਮੁੱਚ ਹਰਮਿੱਟਨ ਇਕੱਠ (Hermitian conjugates) ਹਨ, ਜੋ ਸਾਡੇ ਲਿਖੇ ਮੁਤਾਬਿਕ ਤਰੀਕੇ ਨੂੰ ਸਹੀ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹਨ| ਇਹ ਰੂਪਾਂਤਰਨ (commutation) ਸਬੰਧ ਦੀ ਵੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ;

$\left[a_{i},a_{j}\right]=0\quad ,\quad \left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]=0\quad ,\quad \left[a_{i},a_{j}^{\dagger }\right]=\delta _{ij},$

ਜਿੱਥੇ ਕਰੋਨੈੱਕਰ ਡੈਲਟਾ (Kronecker delta) ਲਈ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ| ਇਹ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਜ਼ਾਦ ਕੁਆਂਟਮ ਹਾਰਮੋਨੀਕ ਔਸੀਲੇਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਸਮੂਹ ਲਈ ਲੈਡਰ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਚਲਾਏ ਜਾਂਦੇ ਸਬੰਧ ਹਨ, ਜੋ ਹਰੇਕ ਇਕਲੌਤੇ ਕਣ ਅਵਸਥਾ ਲਈ ਇੱਕ ਇੱਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ| ਹਰੇਕ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਬੋਸੌਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣਾ ਇਸਲਈ ਇੱਕ ਹਾਰਮੋਨੀਕ ਔਸੀਲੇਟਰ ਵਿੱਚ ਊਰਜਾ ਦਾ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਕੱਢਣ ਸਮਾਨ ਹੈ|

ਆਪਣੇ ਸਬੰਧਿਤ ਰਚਨਾਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰ $a_{k}^{\dagger }$ ਦੇ ਅੱਗੇ ਇੱਕ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰ $a_{k}$ ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ kth ਇੱਕਲੌਤੇ ਕਣ ਦੀ ਖੁਦ-$N_{k}$ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ k^th ਸੰਖਿਆ ਵਾਪਸ ਆ ਜਾਂਦੀ ਹੈ;

$a_{k}^{\dagger }\,a_{k}|\dots ,N_{k},\dots \rangle =N_{k}|\dots ,N_{k},\dots \rangle .$

$a_{k}^{\dagger }a_{k}$ਨਾਮਕ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਮੇਲ ਨੂੰ kth ਖੁਦ- ਅਵਸਥਾ ਲਈ ਸੰਖਿਆ-ਓਪਰੇਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ|

ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਦਾ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ (ਜੋ ਸ਼ਰੋਡਿੰਗਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਯੰਤਰਾਵਲੀ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ) ਰਚਨਾਕਾਰ ਅਤੇ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰੀ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ| ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਮੁਕਤ (ਕ੍ਰਿਆ ਨਾ ਕਰ ਰਹੇ) ਬੋਸੋਨਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਲਈ, ਖੇਤਰ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਹਰੇਕ ਊਰਜਾ ਦੀ ਖੁਦ- ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਬੋਸੋਨਾਂ ਦੀਆਂ ਊਰਜਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਕੇ ਖੋਜੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ| ਜੇਕਰ kth ਇਕਲੌਤੇ ਕਣ ਊਰਜਾ ਦੀ ਖੁਦ- ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਊਰਜਾ $E_{k}$ ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਇਸ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ $N_{k}$ ਬੋਸੋਨ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਇਹਨਾਂ ਬੋਸੋਨਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ $E_{k}N_{k}$ ਹੋਵੇਗੀ| ਸਾਰੀ ਦੀ ਸਾਰੀ ਫੀਲਡ ਦੀ ਊਰਜਾ ਫੇਰ k ਉੱਤੇ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਜੋੜ ਹੋਵੇਗੀ:

$E_{\mathrm {tot} }=\sum _{k}E_{k}N_{k}$

ਇਸਨੂੰ $N_{k}$ ਦੀ ਜਗਹ ਸਬੰਧਿਤ ਨੰਬਰ $a_{k}^{\dagger }a_{k}$ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ| ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਇਹ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

$H=\sum _{k}E_{k}\,a_{k}^{\dagger }\,a_{k}.$

ਫਰਮੀਔਨ

ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਫਰਮੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਰਚਨਾ ਅਤੇ ਵਿਨਾਸ਼ ਦੀ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਜਰੂਰ ਵਰਤੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ| ਪੌਲੀ ਐਕਸਕਲੂਜ਼ਨ ਸਿਧਾਂਤ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਫਰਮੀਔਨ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਸ਼ੇਅਰ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਇਸਲਈ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਕਬਜ਼ਾ-ਨੰਬਰ Ni ਸਿਰਫ 0 ਜਾਂ 1 ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੀ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਨ| ਫਰਮੀਔਨਿਕ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰ c ਅਤੇ ਰਚਨਾਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰ $c^{\dagger }$ ਇੱਕ ਫੋਕ ਅਵਸਥਾ ਉੱਤੇ ਆਪਣੀ ਕਾਰਵਾਈ ਰਾਹੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਇਸਲਈ ;

$c_{j}|N_{1},N_{2},\dots ,N_{j}=0,\dots \rangle =0$

$c_{j}|N_{1},N_{2},\dots ,N_{j}=1,\dots \rangle =(-1)^{(N_{1}+\cdots +N_{j-1})}|N_{1},N_{2},\dots ,N_{j}=0,\dots \rangle$

$c_{j}^{\dagger }|N_{1},N_{2},\dots ,N_{j}=0,\dots \rangle =(-1)^{(N_{1}+\cdots +N_{j-1})}|N_{1},N_{2},\dots ,N_{j}=1,\dots \rangle$

$c_{j}^{\dagger }|N_{1},N_{2},\dots ,N_{j}=1,\dots \rangle =0.$

ਇਹ ਇੱਕ ਉਲਟ-ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਨਿਯਮ ਅਧੀਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (anticommutation relation):

$\left\{c_{i},c_{j}\right\}=0\quad ,\quad \left\{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\right\}=0\quad ,\quad \left\{c_{i},c_{j}^{\dagger }\right\}=\delta _{ij}.$

ਇਸ ਤੋਂ ਇਹ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਫਰਮੀਓਨਿਕ ਰਚਨਾਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ 0 ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕਣਾਂ ਲਈ ਇਕਲੌਤੇ ਕਣ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਕਰਨਾ ਅਸੰਭਵ ਹੈ, ਜੋ ਐਕਸਕਲੂਜ਼ਨ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਮੁਤਾਬਿਕ ਹੈ|

ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰ

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਜਿਵੇਂ ਦੱਸਿਆ ਕਿ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਅਜ਼ਾਦੀ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਤਰੀਕੇ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਤਰੀਕੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ| ਦੂਜੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਇਕਲੌਤੇ ਕਣ ਦੀਆਂ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗਿਣ ਕੇ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ| ਫੇਰ ਵੀ, ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ, ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ‘ਫੀਲਡ’ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣਾ ਜਿਆਦਾ ਕੁਦਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਸਥਾਨ ਦੁਆਰਾ ਸੂਚੀਬੱਧ ਅਜ਼ਾਦੀ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ|

ਇਸ ਸਿਰੇ ਤੇ, ਅਸੀਂ ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਾਸ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਇੱਕ ਕਣ ਨੂੰ ਰਚਦਾ ਜਾਂ ਵਿਨਾਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ| ਪਾਰਟੀਕਲ ਫਿਜਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਅਜਿਹੇ ਓਪਰੇਟਰ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸੌਖੇ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਬਣਾਉਣਾ ਸੌਖਾ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਰੀਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀਆਂ ਜਰੂਰਤਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ|

ਇਕਲੌਤਾ-ਕਣ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਗਤੀ-ਨਾਪ (momenta) ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਗਿਣੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ (ਜਿਵੇਂ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਕਣ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ)| ਇਹਨਾਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਲਈ ਰਚਨਾਕਾਰ ਅਤੇ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਤੇ ਫੋਰੀਅਰ ਟਰਾਂਸਫੌਰਮ (Fourier transform) ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰ ਰਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ| ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਬੋਸੋਨਿਕ ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰ $\phi (\mathbf {r} )$ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

$\phi (\mathbf {r} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j}e^{i\mathbf {k} _{j}\cdot \mathbf {r} }a_{j}.$

ਬੋਸੋਨਿਕ ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰ ਰੂਪਾਂਤਰਨ (commutation) ਸਬੰਧ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦਾ ਹੈ;

$\left[\phi (\mathbf {r} ),\phi (\mathbf {r'} )\right]=0\quad ,\quad \left[\phi ^{\dagger }(\mathbf {r} ),\phi ^{\dagger }(\mathbf {r'} )\right]=0\quad ,\quad \left[\phi (\mathbf {r} ),\phi ^{\dagger }(\mathbf {r'} )\right]=\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r'} )$

ਜਿੱਥੇ $\delta (x)$ ਡੀਰਾਕ ਡੈਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ (Dirac delta function) ਲਈ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ| ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਫਰਮੀਓਨਿਕ ਸਬੰਧ ਉਹੀ ਹਨ, ਕਮਿਊਟੇਟਰਾਂ ਦੀ ਜਗਹ ਉਲਟ-ਕਮਿਊਟੇਟਰ ਹਨ|

ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ-ਕਣ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਉਹੀ ਚੀਜ਼ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ| ਪਹਿਲਾ ਓਪਰੇਟਰ ਫੋਕ ਸਪੇਸ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਹੋਇਆ ਕਿਸੇ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਣ ਨੂੰ ਖੋਜਣ ਲਈ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਵਿਸਥਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ| ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹਨਾਂ ਦਾ ਨੇੜੇ ਦਾ ਸਬੰਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕੋ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨਾਲ ਸੱਚਮੁੱਚ ਸਾਂਝੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ| ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਾਲਾ ਹੈਮੀਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ

$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\sum _{i}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i<j}U(|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|)$

ਜਿੱਥੇ ਸੂਚਕ ਅੰਕ i ਅਤੇ j ਸਾਰੇ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਫੇਰ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ (ਨਾ-ਤੁਲਨਾਤਮਿਕ ਹੱਦ ਅਤੇ ਮਮੂਲੀ ਸਵੈ-ਕ੍ਰਿਆ ਲਈ) ਇਹ ਹੈ;

$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int d^{3}\!r\ \phi ^{\dagger }(\mathbf {r} )\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} )+{\frac {1}{2}}\int \!d^{3}\!r\int \!d^{3}\!r'\;\phi ^{\dagger }(\mathbf {r} )\phi ^{\dagger }(\mathbf {r} ')U(|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)\phi (\mathbf {r'} )\phi (\mathbf {r} ).$

ਇਹ ਊਰਜਾ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਦਰਸਾਓ ਵਾਂਗ ਦਿਸਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੋਲ ਅਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ| ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰ ਅਤੇ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਰਮਿਆਨ ਇਹ ਸਬੰਧ ਸਪੇਸ-ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਡ ਹੇਮੀਲਟੋਨੀਅਨ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਬਣਤਰ ਸੌਖੀ ਕਰਦਾ ਹੈ|