ਸੱਤ ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, n ਵਾਸਤਵਿਕ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਕਿਸੇ ਲੜੀ ਨੂੰ n-ਅਯਾਮੀ (ਡਾਇਮੈਮਨਸ਼ਨਲ) ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਲੋਕੇਸ਼ਨ (ਸਥਿਤੀ) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮਝਿਆ ਜਸਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ n=7 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ ਲੋਕੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਨੂੰ 7-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਸਪੇਸ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਅਕਸਰ ਅਜਿਹੇ ਕਿਸੇ ਸਪੇਸ ਦਾ “ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ” ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਡਿਸਟੈਂਸ (ਦੂਰੀ) ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਤੋਂ ਬਗੈਰ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸੱਤ-ਅਯਾਮੀ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਯੂਕਿਲਡਨ ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੇ, ਜੋ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਰਾਹੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਸਧਾਰਨ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਓਸ ਸ਼ਬਦ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਵੀ ਫੀਲਡ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸੱਤ-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਸੱਤ-ਅਯਾਮੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ, ਜਿਸਦੀਆਂ 14 ਵਾਸਤਵਿਕ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਹੋਣ। ਇਹ ਇੱਕ ਸੱਤ-ਅਯਾਮੀ ਬਹੁਪਰਤ (ਮੈਨੀਫੋਲਡ) ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ 7-ਗੋਲਾ (7-ਸਫੀਅਰ) ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਾਂ ਹੋਰ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਰਚਨਾਵਾਂ ਦੀ ਵੈਰਾਇਟੀ (ਭਾਂਤ) ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਸੱਤ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸਾਂ ਦੀਆਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਜਿਆਦਾਤਰ ਔਕਟੋਨੀਅਨਜ਼ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਇੱਕ ਸਪੈਸ਼ਲ ਵੱਖਰੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਿਰਫ ਤਿੰਨ ਜਾਂ ਸੱਤ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਹੁਰਵਿਟਜ਼ ਥਿਊਰਮ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਜੋ ਅਲਜਬਰਿਕ ਬਣਤਰਾਂ ਜਿਵੇਂ ਕੁਆਟਰਨੀਓਨ ਅਤੇ ਔਕਟੋਨੀਓਨ ਦੀ ਹੋਂਦ ਉੱਤੇ 2,4, ਅਤੇ 8 ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ ਹੋਰ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਹੋਣ ਤੇ ਪਾਸਬੰਧੀ ਲਗਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਹੁਣ ਤੱਕ ਖੋਜੇ ਗਏ ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲੇ ਐਗਜ਼ੌਟਿਕ ਸਫੀਅਰ ਸੱਤ-ਅਯਾਮੀ ਸਨ। (ਐਗਜ਼ੌਟਿਕ ਸਫੀਅਰ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਮੈਨੀਫੋਲਡ (ਬਹੁਪਰਤ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਥਾਨਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਕਿਸੇ ਲੀਨੀਅਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਇੰਨਾ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕੈਲਕੁਲਸ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕੇ)

ਰੇਖਾਗਣਿਤ

7-ਪੌਲੀਟੋਪ

ਸੱਤ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਪੌਲੀਟੋਪ ਨੂੰ ਇੱਕ 7-ਪੌਲੀਟੌਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ “ਰੈਗੁਲਰ ਪੌਲੀਟੋਪਾਂ” ਦਾ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਿਰਫ ਤਿੰਨ ਹੀ ਸੱਤ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੇ ਹਨ: 7-ਸਿੰਪਲੈਕਸ, 7-ਕਿਊਬ, ਅਤੇ 7-ਔਰਥੋਪਲੈਕਸ। ਇੱਕ ਵੱਡੀ ਫੈਮਲੀ “ਇੱਕਸਾਰ 7-ਪੌਲੀਟੋਪਾਂ” ਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਰਿਫਲੈਕਸ਼ਨ ਦੀਆਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਮੁਢਲੀਆਂ ਸਮਿਟਰਿਕ ਡੋਮੇਨਾਂ ਤੋਂ ਰਚੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਹਰੇਕ ਹੀ ਇੱਕ “ਕੋਐਕਸਟਰ ਗਰੁੱਪ” ਰਾਹੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਇੱਕਸਾਰ (ਯੂਨੀਫੌਮ) ਪੌਲੀਟੋਪ ਨੂੰ ਇੱਕ ਰਿੰਗਡ “ਕੋਐਕਸਟਰ-ਡਿੰਕਿਨ ਡਾਇਗਰਾਮ” ਰਾਹੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। 7-ਡੈਮੀਕਿਊਬ ਇੱਕ ਨਿਰਾਲਾ ਪੌਲੀਟੋਪ ਹੈ ਜੋ D7 ਫੈਮਲੀ ਤੋਂ ਹੈ, ਅਤੇ 3₂₁, 2₃₁, ਅਤੇ 1₃₂ ਪੌਲਿਟੋਪ E7 ਫੈਮਲੀ ਤੋਂ ਹਨ।

ਸੱਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਰੈਗੁਲਰ ਅਤੇ ਇੱਕਸਾਰ ਪੌਲੀਟੋਪ
(ਹਰੇਕ ਸਮਿੱਟਰੀ ਦੇ ਕੋਐਕਸਟਰ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਔਰਥੋਗਨਲ ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦਿਖਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ)
A₆	B₇		D₇	E₇
7-ਸਿੰਪਲੈਕਸ	7-ਕਿਊਬ	7-ਔਰਥੋਪਲੈਕਸ	7-ਡੇਮੀਕਿਊਬ	3₂₁	2₃₁	1₃₂

6-ਸਫੀਅਰ

ਸੱਤ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਯੂਨਿਕਲਡਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ 6-ਸਫੀਅਰ ਜਾਂ ਹਾਇਪਰਸਫੀਅਰ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ (ਯਾਨਿ ਕਿ ਉਰੀਜਿਨ) ਤੋਂ ਛੇ-ਅਯਾਮੀ ਬਰਾਬਰ ਦੂਰੀ ਤੋਂ ਸਤਹਿ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ S6 ਹੈ, ਜੋ r ਅਰਧ ਵਿਆਸ (ਰੇਡੀਅਸ) ਵਾਲੇ ਇਸ 6-ਸਫੀਅਰ ਲਈ ਰਸਮੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਹੈ;

S^{6}=\left\{x\in \mathbb {R} ^{7}:\|x\|=r\right\}.

ਇਸ 6-ਸਫੀਅਰ ਰਾਹੀਂ ਬੰਨੀ ਹੋਈ ਸਪੇਸ ਦਾ ਵੌਲੀਊਮ (ਘਣਫਲ) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

V_{7}\,={\frac {16\pi ^{3}}{105}}\,r^{7}

ਜੋ ਕਿ ਓਸ 7-ਕਿਊਬ ਦਾ 4.72477 × r⁷, ਜਾਂ 0.0369 of the 7-cube ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ 6-ਸਫੀਅਰ ਰੱਖਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ

ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ

ਜਿਵੇਂ ਉੱਪਰ ਦੱਸਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਸੱਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਆਮ ਤਿੰਨ ਅਯਾਮਾਂ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਿਰਫ ਤਿੰਨ ਜਾਂ ਸੱਤ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਐਗਜ਼ੌਟਿਕ ਸਫੀਅਰ

1956 ਵਿੱਚ, ਜੌਹਨ ਮਿਲਨਰ ਨੇ 7 ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਐਗ਼ਜ਼ੌਟਿਕ ਸਫੀਅਰ ਰਚਿਆ ਅਤੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ 7-ਸਫੀਅਰ ਉੱਤੇ ਘੱਟੋ-ਘੱਟ 7 ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਬਣਤਰਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। 1963 ਵਿੱਚ, ਉਸਨੇ ਦਿਖਾਇਆ ਕਿ ਅਜਿਹੀਆਂ ਬਣਤਰਾਂ ਦੀ ਸਹੀ ਗਿਣਤੀ 28 ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਇਹ ਵੀ ਪੜੋ

ਹਵਾਲੇ

H.S.M. Coxeter: Regular Polytopes. Dover, 1973
J.W. Milnor: On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. Annals of Mathematics 64, 1956

ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Euclidean geometry", ਗਣਿਤ ਦਾ ਵਿਸ਼ਵਕੋਸ਼, ਸਪਰਿੰਗਰ, ISBN 978-1-55608-010-4