ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ

${\displaystyle }$

ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ: ਜੇ $p(x)$ ਘਾਤ $n$ ≥1 ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੋਵੇ ਅਤੇ a ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ

(i): $x-a,p(x)$ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੇ $p(a)=0$ ਹੋਵੇ ਅਤੇ

(ii) $p(a)=0$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੇ $x-a,p(x)$ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੋਵੇ।

ਉਦਾਹਰਨ

ਜਾਂਚ ਕਰੋ ਕਿ $x+2$ ਬਹੁਪਦਾਂ $x^{3}+3x^{2}+5x+6$ਅਤੇ $2x+4$ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ ਜਾਂ ਨਹੀਂ।

ਹੱਲ: $-2,x+2$ ਵੀ ਇੱਕ ਸਿਫ਼ਰ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਉ

$p(x)=x^{3}+3x^{2}+5x+6$ਅਤੇ $s(x)=2x+4$

ਤਦ, $p(-2)=(-2)^{3}+3(-2)^{2}+5(-2)+6$

$=-8+12-10+6$

$=0$

ਇਸਲਈ ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੇ ਅਨੁਸਾਰ $x+2,x^{3}+3x^{2}+5x+6$ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।

ਦੁਬਾਰਾ, $s(x)=2(-2)+4=0$

ਇਸਲਈ, $x+2,2x+4$ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ। ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਲਾਗੂ ਕੀਤੇ ਬਿਨ੍ਹਾਂ ਹੀ ਤੁਸੀਂ ਇਸ ਦੀ ਜਾਂਚ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹੋ, ਕਿਉਂਕਿ $2x+4=2(x+2)$ ਹੈ।

ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉ

ਗੁਣਨਖੰਡ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕਰ ਕੇ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਬਣਾਉ।

$6x^{2}+17x+5=6(x^{2}+{\frac {17}{6}}x+{\frac {5}{6}})=6p(x)$ ਮੰਨ ਲਉ

ਜੇਕਰ $a$ਅਤੇ $b,p(x)$ ਦੀਆਂ ਸਿਫ਼ਰਾਂ ਹੋਣ ਤਾਂ $6x^{2}+17x+5=6(x-a)(x-b)$ਹੈ।

ਇਸਲਈ $ab={\frac {5}{6}}$ਹੋਵੇਗਾ।

ਆਉ ਅਸੀਂ $a$ਅਤੇ $b$ ਦੇ ਲਈ ਕੁਝ ਸੰਭਾਵਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਦੇ ਹਾਂ।

ਇਹ $\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{3}},\pm {\frac {5}{3}}\pm {\frac {5}{2}},\pm 1$ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ।

ਹੁਣ, $p({\frac {1}{2}})=({\frac {1}{2}})^{2}+{\frac {17}{6}}({\frac {1}{2}})+{\frac {5}{6}}$≠0, ਹੈ।

ਪਰ $P({\frac {-1}{3}})=0$, ਹੈ।

ਇਸਲਈ $(x+{\frac {1}{3}})$ ਦਾ ਇੱਕ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।

ਇਸੇ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜਾਂਚ ਕਰ ਕੇ ਅਸੀਂ ਇਹ ਪਤਾ ਲਗਾ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ $(x+{\frac {5}{2}}),p(x)$ ਦਾ ਗੁਣਨਖੰਡ ਹੈ।

ਇਸਲਈ $6x^{2}+17x+5=6(x+{\frac {1}{3}})(x+{\frac {5}{2}})$

$=6({\frac {3x+1}{3}})({\frac {2x+5}{2}})$

$(3x+1)(2x+5)$