ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਦਰਮਿਆਨ ਸਬੰਧ

ਇਹ ਲੇਖ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਅਤੇ ਪੁਟੈਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਦੇ ਬਣੇ ਇੱਕ ਸਰਲ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਾਤਮਿਕ ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਇੱਕਲੌਤੇ-ਕਣ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਪਿਛੋਕੜ

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ

ਬਰਾ-ਕੈੱਟ ਚਿੰਨ ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ,

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi \rangle ={\hat {H}}|\psi \rangle$

ਜਿੱਥੇ ${\hat {H}}$ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਰਲਤਾ ਵਾਸਤੇ ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਹੈ ਕਿ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਸਥਾਨਿਕ ਅਯਾਮ ਹੈ।

ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+V({\hat {q}})$

ਜਿੱਥੇ $V({\hat {q}})$ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਐਨਰਜੀ ਹੈ, m ਪੁੰਜ ਹੈ ਅਤੇ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਰਲਤਾ ਵਾਸਤੇ ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਹੈ ਕਿ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਸਥਾਨਿਕ ਅਯਾਮ q ਹੈ।

ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ ਰਸਮੀ ਹੱਲ ਇਹ ਹੈ

$|\psi (t)\rangle =\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t\right)|q_{0}\rangle \equiv \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t\right)|0\rangle$

ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਣ-ਮੁਕਤ ਸਥਾਨਿਕ ਅਵਸਥਾ $|q_{0}\rangle$ ਮੰਨਿਆ ਹੈ।

ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ $|0\rangle$ ਤੋਂ ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਕਣ-ਮੁਕਤ ਸਥਾਨਿਕ ਅਵਸਥਾ $|F\rangle$ ਤੱਕ ਦੀ ਵਕਤ T ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਵਾਸਤੇ ਤਬਦੀਲੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

$\langle F|\psi (t)\rangle =\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg |}0\right\rangle .$

ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ

ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਇੰਟਗ੍ਰਲ

$\exp \left({\frac {i}{\hbar }}S\right)$

ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਅਵਸਥਾ ਤੱਕ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਰਸਤਿਆਂ ਉੱਪਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ S ਕਲਾਸੀਕਲ ਐਕਸ਼ਨ ਹੈ।

ਇਸ ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਦੀ ਪੁਨਰ-ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ, ਜੋ ਮੌਲਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਡਿਰਾਕ ਅਤੇ ਫੇਨਮੈਨ ਦੁਆਰਾ ਧਾਰਨਾਬੱਧ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ, ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਦਾ ਅਧਾਰ ਰਚਦੀ ਹੈ।

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵੱਲ

ਧਿਆਨ ਦੇਓ: ਅੱਗੇ ਲਿਖੀ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਹੈ (ਇਹ ਉਹਨਾਂ ਮਾਮਿਲਆਂ ਅਂਦਰ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪੁਟੈਸ਼ਲ, V(q), ਮੋਮੈਂਟਮ p ਨਾਲ ਕਮਿਊਟ ਕਰਦਾ ਹੈ)। ਫੇਨਮੈਨ ਨੂੰ ਅਪਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ (ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ) ਮੋਮੈਂਟਮ p ਨੂੰ ਪੁੰਜ m ਅਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ x_a ਅਤੇ x_b ਉੱਤੇ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਠਿਨ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਵਕਤ ਅੰਤਰ δt ਨਾਲ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦੂਰੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

$p=m\left({\frac {x_{b}-x_{a}}{\delta t}}\right)$

ਨੋਟ 2:Zee Archived 2010-10-28 at the Wayback Machine. ਦੇ ਪੰਨਾ 11 ਉੱਤੇ ਦੋ ਗਲਤੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਦੋਵੇਂ ਹੀ ਇੱਥੇ ਸੋਧੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।

ਅਸੀਂ ਵਕਤ ਅੰਤਰਾਲ [0, T] ਨੂੰ ਲੰਬਾਈ ਦੇ N ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ

$\delta t={\frac {T}{N}}.$

ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨੂੰ ਇਾਸਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg |}0\right\rangle =\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right)\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right)\cdots \exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}0\right\rangle .$

ਅਸੀਂ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਭਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ

$I=\int dq|q\rangle \langle q|$

N − 1 ਟਾਈਮ ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ਲਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਭਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਪੈਦਾ ਹੋ ਸਕੇ

$\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg |}0\right\rangle =\left(\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}\right)\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{N-1}\right\rangle \left\langle q_{N-1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{N-2}\right\rangle \cdots \left\langle q_{1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}0\right\rangle .$

ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਤਬਦੀਲੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$\left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{j}\right\rangle =\left\langle q_{j+1}{\Bigg |}\exp \left({-{i \over \hbar }{{\hat {p}}^{2} \over 2m}\delta t}\right)\exp \left({-{i \over \hbar }V\left(q_{j}\right)\delta t}\right){\Bigg |}q_{j}\right\rangle .$

ਅਸੀਂ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਵਿੱਚ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ

$I=\int {dp \over 2\pi }|p\rangle \langle p|$

ਭਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਮਿਲ ਸਕੇ

${\begin{aligned}\left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{j}\right\rangle &=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int {\frac {dp}{2\pi }}\left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}\delta t\right){\bigg |}p\right\rangle \langle p|q_{j}\rangle \\&=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int {\frac {dp}{2\pi }}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}\delta t\right)\left\langle q_{j+1}|p\right\rangle \left\langle p|q_{j}\right\rangle \\&=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}V\left(q_{j}\right)\delta t\right)\int {\frac {dp}{2\pi \hbar }}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {p^{2}}{2m}}\delta t-{\frac {i}{\hbar }}p\left(q_{j+1}-q_{j}\right)\right)\end{aligned}}$

ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇਹ ਤੱਥ ਵਰਤਿਆ ਹੈ ਕਿ ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਹ ਹੈ

$\langle p|q_{j}\rangle ={\frac {\exp \left({\frac {i}{\hbar }}pq_{j}\right)}{\sqrt {\hbar }}}$.

p ਉੱਪਰ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਇਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ (ਦੇਖੋਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਅੰਦਰ ਸਾਂਝੇ ਇੰਟਗ੍ਰਲ) ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$\left\langle q_{j+1}{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}\delta t\right){\bigg |}q_{j}\right\rangle =\left({-im \over 2\pi \delta t\hbar }\right)^{1 \over 2}\exp \left[{i \over \hbar }\delta t\left({1 \over 2}m\left({q_{j+1}-q_{j} \over \delta t}\right)^{2}-V\left(q_{j}\right)\right)\right]$

ਪੂਰੇ ਵਕਤ ਪੀਰੀਅਡ ਲਈ ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

$\left\langle F{\bigg |}\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}T\right){\bigg |}0\right\rangle =\left({-im \over 2\pi \delta t\hbar }\right)^{N \over 2}\left(\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}\right)\exp \left[{i \over \hbar }\sum _{j=0}^{N-1}\delta t\left({1 \over 2}m\left({q_{j+1}-q_{j} \over \delta t}\right)^{2}-V\left(q_{j}\right)\right)\right].$

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ਾਲ N ਦੀ ਹੱਦ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਘਟ ਕੇ ਇਹ ਰਹਿ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

$\left\langle F{\bigg |}\exp \left({-{i \over \hbar }{\hat {H}}T}\right){\bigg |}0\right\rangle =\int Dq(t)\exp \left[{i \over \hbar }S\right]$

ਜਿੱਥੇ S ਕਲਾਸੀਕਲ ਕਾਰਜ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

$S=\int _{0}^{T}dtL\left(q(t),{\dot {q}}(t)\right)$

ਅਤੇ L ਕਲਾਸੀਕਲ ਲਗ੍ਰਾਂਜੀਅਨ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

$L\left(q,{\dot {q}}\right)={1 \over 2}m{\dot {q}}^{2}-V(q)$

ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਅਵਸਥਾ ਤੱਕ ਜਾਣ ਦਾ, ਕਣ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਭਵ ਰਸਤਾ, ਕਿਸੇ ਟੁੱਟੀ ਹੋਈ ਰੇਖਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸੰਖੇਪਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਦੇ ਨਾਪ ਅੰਦਰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

$\int Dq(t)=\lim _{N\to \infty }\left({\frac {-im}{2\pi \delta t\hbar }}\right)^{\frac {N}{2}}\left(\prod _{j=1}^{N-1}\int dq_{j}\right)$

ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਰਅਸਲ ਇਹ ਅੰਦਾਜ਼ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲਾ ਗੁਣਾਂਕ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਯਾਮ ਸਹੀ ਰਹਿਣ, ਪਰ ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਉਪਯੋਗ ਅੰਦਰ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸਬੰਧ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ।

ਇਹ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਦੀ ਪੁਨਰ ਬਹਾਲੀ (ਰਿਕਵਰੀ) ਕਰਦਾ ਹੈ।