ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਦਰਮਿਆਨ ਸਬੰਧ

ਵਿਕੀਪੀਡੀਆ, ਇੱਕ ਅਜ਼ਾਦ ਗਿਆਨਕੋਸ਼ ਤੋਂ
Jump to navigation Jump to search

ਇਹ ਲੇਖ ਕਾਇਨੈਟਿਕ ਅਤੇ ਪੁਟੈਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਦੇ ਬਣੇ ਇੱਕ ਸਰਲ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਾਤਮਿਕ ਇੱਕ-ਅਯਾਮੀ ਇੱਕਲੌਤੇ-ਕਣ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਪਿਛੋਕੜ[ਸੋਧੋ]

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ[ਸੋਧੋ]

ਬਰਾ-ਕੈੱਟ ਚਿੰਨ ਵਿੱਚ, ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ,

ਜਿੱਥੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਰਲਤਾ ਵਾਸਤੇ ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਹੈ ਕਿ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਸਥਾਨਿਕ ਅਯਾਮ ਹੈ।

ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਇਸਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

ਜਿੱਥੇ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਐਨਰਜੀ ਹੈ, m ਪੁੰਜ ਹੈ ਅਤੇ ਹੈ। ਅਸੀਂ ਸਰਲਤਾ ਵਾਸਤੇ ਇਹ ਮੰਨਿਆ ਹੈ ਕਿ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਸਥਾਨਿਕ ਅਯਾਮ q ਹੈ।

ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਾ ਰਸਮੀ ਹੱਲ ਇਹ ਹੈ

ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਣ-ਮੁਕਤ ਸਥਾਨਿਕ ਅਵਸਥਾ ਮੰਨਿਆ ਹੈ।


ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਤੋਂ ਇੱਕ ਅੰਤਿਮ ਕਣ-ਮੁਕਤ ਸਥਾਨਿਕ ਅਵਸਥਾ ਤੱਕ ਦੀ ਵਕਤ T ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਵਾਸਤੇ ਤਬਦੀਲੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ[ਸੋਧੋ]

ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਬਿਆਨ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ ਮਾਤਰਾ ਦਾ ਇੰਟਗ੍ਰਲ

ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਅਵਸਥਾ ਤੱਕ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਰਸਤਿਆਂ ਉੱਪਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ S ਕਲਾਸੀਕਲ ਐਕਸ਼ਨ ਹੈ।

ਇਸ ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਦੀ ਪੁਨਰ-ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ, ਜੋ ਮੌਲਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਡਿਰਾਕ[1] ਅਤੇ ਫੇਨਮੈਨ ਦੁਆਰਾ ਧਾਰਨਾਬੱਧ ਕੀਤੀ ਗਈ ਸੀ,[2] ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਦਾ ਅਧਾਰ ਰਚਦੀ ਹੈ।[3]

ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਵੱਲ[ਸੋਧੋ]

ਧਿਆਨ ਦੇਓ: ਅੱਗੇ ਲਿਖੀ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਹੈ (ਇਹ ਉਹਨਾਂ ਮਾਮਿਲਆਂ ਅਂਦਰ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਪੁਟੈਸ਼ਲ, V(q), ਮੋਮੈਂਟਮ p ਨਾਲ ਕਮਿਊਟ ਕਰਦਾ ਹੈ)। ਫੇਨਮੈਨ ਨੂੰ ਅਪਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਡੈਰੀਵੇਸ਼ਨ (ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ) ਮੋਮੈਂਟਮ p ਨੂੰ ਪੁੰਜ m ਅਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ xa ਅਤੇ xb ਉੱਤੇ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਅੰਤਰ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਠਿਨ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇੱਕ ਵਕਤ ਅੰਤਰ δt ਨਾਲ ਵੱਖਰੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਇਸਤਰਾਂ ਦੂਰੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਨੋਟ 2:Zee ਦੇ ਪੰਨਾ 11 ਉੱਤੇ ਦੋ ਗਲਤੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਦੋਵੇਂ ਹੀ ਇੱਥੇ ਸੋਧੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।

ਅਸੀਂ ਵਕਤ ਅੰਤਰਾਲ [0, T] ਨੂੰ ਲੰਬਾਈ ਦੇ N ਟੁਕੜਿਆਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡ ਸਕਦੇ ਹਾਂ

ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਨੂੰ ਇਾਸਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

ਅਸੀਂ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਭਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ

N − 1 ਟਾਈਮ ਐਕਪੋਨੈਂਸ਼ਲਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਭਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਪੈਦਾ ਹੋ ਸਕੇ

ਹਰੇਕ ਵਿਅਕਤੀਗਤ ਤਬਦੀਲੀ ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਨੂੰ ਇਸਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

ਅਸੀਂ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਵਿੱਚ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ

ਭਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ, ਤਾਂ ਜੋ ਇਹ ਮਿਲ ਸਕੇ

ਜਿੱਥੇ ਅਸੀਂ ਇਹ ਤੱਥ ਵਰਤਿਆ ਹੈ ਕਿ ਸੁਤੰਤਰ ਕਣ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇਹ ਹੈ

.

p ਉੱਪਰ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਇਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ (ਦੇਖੋਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਅੰਦਰ ਸਾਂਝੇ ਇੰਟਗ੍ਰਲ) ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

ਪੂਰੇ ਵਕਤ ਪੀਰੀਅਡ ਲਈ ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਵਿਸ਼ਾਲ N ਦੀ ਹੱਦ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ ਤਾਂ ਤਬਦੀਲੀ ਐਂਪਲੀਟਿਊਡ ਘਟ ਕੇ ਇਹ ਰਹਿ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

ਜਿੱਥੇ S ਕਲਾਸੀਕਲ ਕਾਰਜ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

ਅਤੇ L ਕਲਾਸੀਕਲ ਲਗ੍ਰਾਂਜੀਅਨ ਇਸਤਰਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ

ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਅਵਸਥਾ ਤੋਂ ਅੰਤਿਮ ਅਵਸਥਾ ਤੱਕ ਜਾਣ ਦਾ, ਕਣ ਦਾ ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਭਵ ਰਸਤਾ, ਕਿਸੇ ਟੁੱਟੀ ਹੋਈ ਰੇਖਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸੰਖੇਪਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਦੇ ਨਾਪ ਅੰਦਰ ਸ਼ਾਮਿਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਹ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਦਰਅਸਲ ਇਹ ਅੰਦਾਜ਼ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਨੂੰ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਸਾਹਮਣੇ ਵਾਲਾ ਗੁਣਾਂਕ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਕਰਨ ਲਈ ਲੋੜੀਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਅਯਾਮ ਸਹੀ ਰਹਿਣ, ਪਰ ਕਿਸੇ ਭੌਤਿਕੀ ਉਪਯੋਗ ਅੰਦਰ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸਬੰਧ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੇ ।

ਇਹ ਸ਼੍ਰੋਡਿੰਜਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਤੋਂ ਪਾਥ ਇੰਟਗ੍ਰਲ ਫਾਰਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ ਦੀ ਪੁਨਰ ਬਹਾਲੀ (ਰਿਕਵਰੀ) ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਹਵਾਲੇ[ਸੋਧੋ]

  1. Dirac, P. A. M. (1958). The Principles of Quantum Mechanics, Fourth Edition. Oxford. ISBN 0-19-851208-2. 
  2. Richard P. Feynman (1958). Feynman's Thesis: A New Approach to Quantum Theory. World Scientific. ISBN 981-256-366-0. 
  3. A. Zee (2003). Quantum Field Theory in a Nutshell. Princeton University. ISBN 0-691-01019-6.