ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ

ਬਾਕੀ ਥਿਊਰਮ ਦੀ ਬੀਜ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ: ਕਿਸੇ ਬਹੁਪਦ $f(x)$ ਨੂੰ ਜਦੋਂ ਰੇਖੀ ਬਹੁਪਦ $x-a$ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਬਾਕੀ $f(a)$ ਹੋਵੇਗਾ।

ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ $x-a$, $f(x)$ ਦਾ ਭਾਗਫਲ ਤਾਂ ਹੀ ਹੋਵੇਗਾ ਜਦੋਂ ਸਿਰਫ ਤੇ ਸਿਰਫ $f(a)=0.$

ਉਦਾਹਰਣ

ਮੰਨ ਲਉ $f(x)=x^{3}-12x^{2}-42\,$ਇੱਕ ਬਹੁਪਦੀ ਹੈ

ਜੇ $f(x)\,$ ਨੂੰ $x-3\,$ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕਰਨ ਤੇ ਭਾਗਫਲ $x^{2}-9x-27\,$ ਅਤੇ ਬਾਕੀ $-123\,$.ਹੋਵੇ ਤਾਂ

ਬਾਕੀ ਥਿਉਰਮ ਰਾਹੀ

ਬਾਕੀ $f(3)=3^{3}-12(3)^{2}-42=-123\,$ ਹੋਵੇਗਾ।

ਹੋਰ ਪ੍ਰਿਭਾਸ਼ਾ

ਮੰਨ ਲਉ $f(x)$ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਜਾਂ ਇੱਕ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਘਾਤ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੈ ਅਤੇ ਮੰਨ ਲਉ $a$ ਕੋਈ ਵਾਸਤਵਿਕ ਸੰਖਿਆ ਹੈ। ਜੇ $f(x)$ ਨੂੰ ਰੇਖੀ ਬਹੁਪਦ $x-a$ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਵੇ ਤਾਂ ਬਾਕੀ $f(a).$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸਬੂਤ

ਮੰਨ ਲਈ $p(x)$ ਇੱਕ ਜਾਂ ਇੱਕ ਤੋਂ ਵੱਧ ਘਾਤ ਵਾਲ ਇੱਕ ਬਹੁਪਦ ਹੈ ੳਤੇ ਮੰਨ ਲਉ ਕਿ ਜਦੋਂ $p(x)$ ਨੂੰ $x-a$ ਨਾਲ ਭਾਗ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਭਾਗਫਲ $q(x)$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ੳਤੇ ਬਾਕੀ $r(x)$ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਰਥਾਤ

$p(x)=(x-a)q(x)+r(x)$

ਕਿਉਂਕਿ $x-a$ ਦੀ ਘਾਤ 1 ਹੈ ਅਤੇ $r(x)$ ਦੀ ਘਾਤ $x-a$ ਦੀ ਘਾਤ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੈ, ਇਸ ਲਈ $r(x)$ ਦੀ ਘਾਤ =੦ ਹੈ। ਇਸ ਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ $r(x)$ਇੱਕ ਅਚਲ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਉ ਇਹ ਅਚਲ $r$ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ $x$ ਦੇ ਹਰੇਕ ਮੁੱਲ ਦੇ ਲਈ $r(x)=r$ ਹੈ।

ਇਸ ਲਈ, $p(x)=(x-a)q(x)+r$

ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਜੇ $x=a$ ਤਾਂ ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਤੋਂ ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

$p(a)=(a-a)q(a)+r$

$=r$

ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਥਿਉਰਮ ਸਿੱਧ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।