ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ

ਵਿਕੀਪੀਡੀਆ, ਇੱਕ ਅਜ਼ਾਦ ਗਿਆਨਕੋਸ਼ ਤੋਂ
Jump to navigation Jump to search
ਸੱਜੇ ਹੱਥ ਵਾਲੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਸਿਸਟਮ ਪ੍ਰਤਿ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ

ਗਣਿਤ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ ਕੈਲਕੁਲਸ ਵਿੱਚ, ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਜਾਂ ਵੈਕਟਰ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (ਕੁੱਝ ਮੌਕਿਆਂ ਤੇ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਮਹੱਤਤਾ ਤੇ ਜੋਰ ਦੇਣ ਲਈ ਖੇਤਰ ਗੁਣਨਫਲ ਵੱਲ ਨਿਰਦੇਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਤਿੰਨ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਲ ਸਪੇਸ (R3) ਵਿੱਚ ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਬਾਇਨਰੀ (ਦੋ-ਰੇਖਿਕ) ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਨੂੰ ਚਿੰਨ × ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਰੇਖਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਆਤਮਨਿਰਭਰ ਵੈਕਟਰ a ਅਤੇ b ਦਿੱਤੇ ਹੋਣ ਤੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ a × b, ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਵੈਕਟਰ ਬਣੇਗਾ ਜੋ ਦੋਹਾਂ ਤੋਂ ਪਰਪੈਂਡੀਕਿਊਲਰ (ਸਮਕੋਣ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਕਰ ਕੇ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਰੱਖਣ ਵਾਲੀ ਪਲੇਨ (ਸਤਹਿ) ਤੋਂ ਨੌਰਮਲ (90 ਡਿਗਰੀ ਤੇ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਦੀਆਂ ਗਣਿਤ, ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ, ਇੰਜੀਨਿਅਰਿੰਗ, ਅਤੇ ਕੰਪਿਊਟਰ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮਿੰਗ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ (ਉਪਯੋਗ) ਹਨ। ਇਸਨੂੰ ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ (ਪ੍ਰੋਜੈਕਸ਼ਨ ਗੁਣਨਫਲ) ਨਹੀਂ ਸਮਝਣਾ ਚਾਹੀਦਾ।

ਵਿਸ਼ਾ ਸੂਚੀ

ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ[ਸੋਧੋ]

ਸੱਜੇ-ਹੱਥ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੁਆਰਾ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਖੋਜਣਾ


ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੁਆਰਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ[1][2]

ਵੈਕਟਰਾਂ a (blue) ਅਤੇ b (red) ਦਰਮਿਆਨ ਕੋਣ ਬਦਲਣ ਨਾਲ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ a × b (vertical, in purple) ਬਦਲ ਜਾਂਦਾ ਹੈ. ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹਮੇਸ਼ਾਂ ਹੀ ਦੋਵੇਂ ਵੈਕਟਰਾਂ ਤੋਂ ਓਰਥੋਗਨਲ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ ਉਦੋਂ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਵੈਕਟਰ ਸਮਾਂਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਮੁੱਲ ‖a‖‖b‖ ਉਸ ਵੇਲੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਉਹ ਔਰਥੋਗਨਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ

ਨਾਮ[ਸੋਧੋ]

ਸਾਰੁੱਸ ਨਿਯਮ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਕਿਸੇ 3×3 ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੇ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ ਵਿੱਚ ਆਰਪਾਰ ਤਿਰਛੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਤੱਤਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਗੁਣਨਫਲ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

ਕਰੋਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣਾ[ਸੋਧੋ]

ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕ ਧਾਰਨਾ[ਸੋਧੋ]

ਮਿਆਰੀ ਅਧਾਰ ਵੈਕਟਰ (i, j, k, ਅਤੇ e1, e2, e3) ਅਤੇ a (ax, ay, az ਦੇ ਵੈਕਟਰ ਹਿੱਸੇ ਵੀ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ, ਅਤੇ a1, a2, a3) ਵੀ ਦਰਸਾਏ ਗਏ ਹਨ

ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਧਾਰਨਾ[ਸੋਧੋ]

u ਅਤੇ v ਦਾ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਖੋਜਣ ਲਈ ਸਾਰੁੱਸ ਨਿਯਮ ਦੀ ਵਰਤੋਂ

ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਨੂੰ ਰਸਮੀ ਤੌਰ ਤੇ ਵੀ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ[note 1] determinant:

ਇਸ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ ਨੂੰ ਸਾਰੁੱਸ ਦੇ ਨਿਯਮ ਦੀ ਬਰਤੋ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਕੋਫੈਕਟਰ ਪ੍ਰਸਾਰ ਦੀ ਵਰਤੋ ਨਾਲ ਵੀ ਪਤਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਸਾਰੁੱਸ ਨਿਯਮ ਨਿਯਮ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਇਸਤਰਾਂ ਫੈਲਦਾ ਹੈ

ਕੋਫੈਕਟਰ ਫੈਲਾਓ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਪਹਿਲੀ ਕਤਾਰ ਦੇ ਨਾਲ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੀ ਜਗਹ, ਇਹ ਇਸਤਰਾਂ ਫੈਲਦਾ ਹੈ[3]

ਜੋ ਨਤੀਜਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਪੁਰਜੇ ਸਿੱਧੇ ਹੀ ਦੇ ਦਿੰਦਾ ਹੈ

ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ[ਸੋਧੋ]

ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਅਰਥ[ਸੋਧੋ]

ਚਿੱਤਰ 1. ਇੱਕ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੇ ਮੁੱਲ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਪਰਲੈਲੋਗ੍ਰਾਮ ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ
ਚਿੱਤਰ 2. ਇੱਕ ਪਰਲੈਲੋਪਾਈਪਡ ਪਰੋਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੇ ਹੋਏ ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰ


ਅਲਜਬਰਿਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ[ਸੋਧੋ]

ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਸਕੇਲਰ ਗੁਣਨਫਲ
ਵੈਕਟਰ ਜੋੜ ਉੱਤੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਵਿਸਥਾਰਵੰਡ[4]
The two nonequivalent triple cross products of ਤਿੰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ a, b, c ਦੇ ਦੋ ਅਸਮਾਨ ਤੀਹਰੇ ਗੁਣਨਫਲ

ਡਿੱਫਰੈਂਟੀਏਸ਼ਨ[ਸੋਧੋ]

ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਕੈਲਕੁਲਸ ਦਾ ਗੁਣਨਫਲ ਨਿਯਮ ਕਿਸੇ ਵੀ ਦੋ-ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਤੇ ਲਾਗੂ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸਲਈ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

ਜਿੱਥੇ a ਅਤੇ b ਉਹ ਵੈਕਟਰ ਹਨ ਜੋ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਸਥਿਰਾਂਕ t ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ.

ਤੀਹਰਾ ਗੁਣਨਫਲ ਪ੍ਰਸਾਰ[ਸੋਧੋ]

ਬਦਲਵੀਂ ਫਾਤਮੂਲਾ ਵਿਓਂਤਬੰਦੀ[ਸੋਧੋ]

ਲਗਰਾਂਜ ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ[ਸੋਧੋ]

ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਅਤਿਸੂਖਮ ਜਨਰੇਟਰ[ਸੋਧੋ]

ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਦੇ ਬਦਲਵੇਂ ਤਰੀਕੇ[ਸੋਧੋ]

ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਾ ਵਿੱਚ ਪਰਿਵਰਤਨ[ਸੋਧੋ]

ਟੈਂਸਰਾਂ ਵਾਸਤੇ ਸੂਚਕਾਂਕ ਚਿੰਨ[ਸੋਧੋ]

ਯਾਦਸ਼ਕਤੀ ਸ਼ਹਾਇਕ[ਸੋਧੋ]

ਆਰਪਾਰ ਦ੍ਰਿਸ਼[ਸੋਧੋ]

ਉਪਯੋਗ[ਸੋਧੋ]

ਹਿਸਾਬ-ਕਿਤਾਬੀ ਰੇਖਾਗਣਿਤ[ਸੋਧੋ]

ਐਂਗੁਲਰ ਮੋਮੈਂਟਮ ਅਤੇ ਟਾਰਕ[ਸੋਧੋ]

ਠੋਸ ਸ਼ਰੀਰ[ਸੋਧੋ]

ਲੌਰੰਟਜ਼ ਬਲ[ਸੋਧੋ]

ਫੁਟਕਲ[ਸੋਧੋ]

ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਚੀਜ਼ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ[ਸੋਧੋ]

ਬਾਹਰੀ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਸਬੰਧ ਵਿੱਚ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ. ਲਾਲ ਰੰਗ ਵਿੱਚ ਔਰਥੋਗਨਲ ਇਕਾਈ ਵੈਕਟਰ ਹਨ, ਅਤੇ ਸਮਾਂਤਰ ਇਕਾਈ ਬਾਇਵੈਕਟਰ ਹਨ

ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਅਤੇ ਮਰਜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ[ਸੋਧੋ]

ਸਰਵ-ਸਧਾਰੀਕਰਨਾਂ[ਸੋਧੋ]

ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ[ਸੋਧੋ]

ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ[ਸੋਧੋ]

ਔਕਟਨੀਔਨ[ਸੋਧੋ]

ਵੈੱਜ ਪ੍ਰੋਡਕਟ[ਸੋਧੋ]

ਬਹੁਰੇਖਿਕ ਅਲਜਬਰਾ[ਸੋਧੋ]

ਸਕਿਊਸਮਿੱਟਰਿਕ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ[ਸੋਧੋ]

ਇਤਿਹਾਸ[ਸੋਧੋ]

ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ[ਸੋਧੋ]

ਨੋਟਸ[ਸੋਧੋ]

  1. Here, “formal" means that this notation has the form of a determinant, but does not strictly adhere to the definition; it is a mnemonic used to remember the expansion of the cross product.
  1. Wilson 1901
  2. Dennis G. Zill; Michael R. Cullen (2006). "Definition 7.4: Cross product of two vectors". Advanced engineering mathematics (3rd ed.). Jones & Bartlett Learning. p. 324. ISBN 0-7637-4591-X. 
  3. Dennis G. Zill; Michael R. Cullen (2006). "Equation 7: a × b as sum of determinants". cited work. Jones & Bartlett Learning. p. 321. ISBN 0-7637-4591-X. 
  4. M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis. Schaum's outlines. McGraw Hill. p. 29. ISBN 978-0-07-161545-7. 

ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ[ਸੋਧੋ]