ਤਿੰਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰ

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਤਿੰਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਸਪਿੱਨੌਰ ਸੰਕਲਪ ਨਾਲ, ਡੌਟ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਅਤੇ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਦੀਆਂ ਪ੍ਰੰਪਰਾਗਤ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਦੇ ਅਰਥਾਂ ਰਾਹੀਂ ਵਰਤਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਗਰੁੱਪ SO(3) ਦੀ ਵਿਸਥਾਰਪੂਰਵਕ ਅਲਜਬਰਿਕ ਡਿਸਕਸ਼ਨ (ਵਿਚਾਰ-ਚਰਚਾ) ਦਾ ਹਿੱਸਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨਾਂ

ਘੱਟ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀਆਂ ਕੁੱਝ ਸਰਲ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰੇ Cℓ_p, q(R) ਦੇ ਇਵਨ-ਗਰੇਡ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਸਬਅਲਜਬਰਿਆਂ ਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰਨ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਉਹ ਅਲਜਬਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਜੋੜਨ ਅਤੇ ਗੁਣਾਂ ਕਰਨ ਹੇਠਾਂ, ਪਰਸਪਰ ਔਰਥੋਗਨਲ ਵੈਕਟਰਾਂ n = p + q ਦੇ ਇੱਕ ਔਰਥੋਨੌਰਮਲ ਬੇਸਿਸ ਤੋਂ ਬਣਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ p ਨੌਰਮ +1 ਰੱਖਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਜਿਸਦਾ q ਨੌਰਮ -1 ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਨਫਲ ਦੇ ਇਸ ਨਿਯਮ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

$e_{i}e_{j}={\Bigg \{}{\begin{matrix}+1&i=j,\,i\in (1\ldots p)\\-1&i=j,\,i\in (p+1\ldots n)\\-e_{j}e_{i}&i\not =j.\end{matrix}}$

ਦੋ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ

ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ Cℓ_2,0(R) ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸਕੇਲਰ 1, ਦੋ ਔਰਥੋਗਨਲ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ σ₁ ਅਤੇ σ₂, ਅਤੇ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸੂਡੋਸਕੇਲਰ i = σ₁σ₂ ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਉੱਪਰ ਦੱਸੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਤੋਂ, ਇਹ ਸਪਸ਼ਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ;

(σ₁)² = (σ₂)² = 1,

ਅਤੇ

(σ₁σ₂)(σ₁σ₂) = −σ₁σ₁σ₂σ₂ = −1

Cℓ_2,0(R) ਦੇ ਇਵਨ ਦਰਜਾਬੱਧ ਕੀਤੇ ਹੋਏ (ਗਰੇਡਿਡ) ਬੇਸਿਸ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਰਾਹੀਂ ਫੈਲਾਇਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਇਵਨ ਸਬਅਲਜਬਰਾ Cℓ⁰_2,0(R), ਇਸਦੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਰਾਹੀਂ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ 1 ਅਤੇ σ₁σ₂ ਦੇ ਵਾਸਤਵਿਕ ਰੇਖਿਕ ਮੇਲਾਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, Cℓ⁰_2,0(R) ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ C ਦੀ ਫੀਲਡ ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਨਤੀਜੇ ਵਜੋਂ, ਇਹ ਇੱਕ ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੈ (ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਜ਼ਨ ਦੇ ਸਮਾਨ), ਜਿਸਨੂੰ ਕਦੇ ਕਦੇ ਕਿਸੇ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਐਲੀਮੈਂਟ ਦਾ ਰਿਵਰਸ (ਉਲਟ) ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

$(a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}\,$

ਜੋ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਸਬੰਧਾਂ ਦੁਆਰਾ, ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ

$(a+b\sigma _{1}\sigma _{2})^{*}=a+b\sigma _{2}\sigma _{1}=a-b\sigma _{1}\sigma _{2}\,$

ਵੈਕਟਰਾਂ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਇਵਨ ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਐਲੀਮੈਂਟ γ ∈ Cℓ⁰_2,0(R) ਦਾ ਕਾਰਜ (ਐਕਸ਼ਨ), ਜੋ Cℓ_2,0(R) ਦੇ 1-ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਇੱਕ ਜਨਰਲ ਵੈਕਟਰ u = a₁σ₁ + a₂σ₂ ਤੋਂ ਇਸ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਵੈਕਟਰ ਤੱਕ ਨਕਸ਼ਾਂ ਬਣਾ ਕੇ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

$\gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}\,$,

ਜਿੱਥੇ γ^∗ ਚਿੰਨ੍ਹ γ ਦਾ ਕੰਜੂਗੇਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਗੁਣਨਫਲ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। γ ਦੇ ਸਪਿੱਨੌਰ φ ਉੱਤੇ ਕਾਰਜ ਨੂੰ ਸਧਾਰਨ ਕੰਪਲੈਕਸ ਗੁਣਨਫਲ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਜੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ:

$\gamma (\phi )=\gamma \phi$

ਇਸ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦਾ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਗੁਣ ਸਧਾਰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਅਤੇ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਫਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਇਸ ਗੱਲ ਤੋਂ ਪ੍ਰਗਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਵਨ (ਜਿਸਤ) ਦਰਜੇ ਵਾਲੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਕਿਵੇਂ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਉੱਤੇ ਵੱਖਰੇ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕਿਆਂ ਨਾਲ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਫਟਾਫਟ ਜਾਂਚ ਸਾਬਤ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਵਨ ਗਰੇਡ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਐਲੀਮੈਂਟ ਸਧਾਰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਨਾਲ ਕੰਜੂਗੇਟ-ਕਮਿਉਟ (ਵਟਾਂਦਰਾ ਸਵੰਧ ਰੱਖਦੇ) ਕਰਦੇ ਹਨ।

$\gamma (u)=\gamma u\gamma ^{*}=\gamma ^{2}u\,$

ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ γ(φ) = γφ ਉੱਤੇ ਕਾਰਜ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਸਧਾਰਨ ਵੈਕਟਰਾਂ ਊੱਤੇ γ ਦੀ ਕ੍ਰਿਆ, ਇਸਦੀ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਦੇ ਸਕੁਏਅਰ (ਵਰਗ) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਪੱਧਰੀਆਂ (ਪਲੇਨ) ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਲਈ ਇਸਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ। ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਇੱਕ ਐਂਗਲ θ ਰਾਹੀਂ ਘੁਮਾਉਣਾ γ² = exp(θ σ₁σ₂) ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਉੱਤੇ ਸਬੰਧਤ ਕਾਰਜ γ = ± exp(θ σ₁σ₂/2) ਰਾਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਆਮਤੌਰ ਤੇ, ਲੌਗਰਿਥਮਿਕ ਬਰਾਂਚਿੰਗ ਕਾਰਣ, ਕਿਸੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਥਿਰਤਾ ਭਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਚੁਣ ਲੈਣਾ ਅਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਣ, ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਉੱਤੇ ਪਲੇਨ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

ਦੋ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੇ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਤੱਥ ਦਾ ਨਾਜਾਇਜ਼ ਲਾਭ ਉਠਾਉਣਾ ਆਮ ਗੱਲ ਹੋ ਗਈ ਹੈ ਕਿ ਇਵਨ ਗਰੇਡ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦਾ ਅਲਜਬਰਾ (ਜੋ ਸਿਰਫ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਛੱਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਤਿ ਮਿਲਦਾ ਜੁਲਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਭਾਸ਼ਾ ਦੇ ਦੁਰ-ਉਪਯੋਗ ਰਾਹੀਂ, ਦੋਵਾਂ ਦਾ ਅਕਸਰ ਮਿਸ਼ਰਣ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ “ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਦਾ ਕਾਰਜ” ਬਾਰੇ ਬੋਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਸੈਟਿੰਗ ਵਿੱਚ, ਅਜਿਹੇ ਕਥਨ ਅਰਥਹੀਣ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਪਰ 2 ਜਾਂ 3 ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ (ਜਿਵੇਂ ਕੰਪਿਊਟਰ ਗ੍ਰਾਫਿਕਸ ਵਿੱਚ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ), ਫੇਰ ਵੀ ਇਹ ਅਰਥ ਰੱਖਦੇ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨਾਂ

• ਇਵਨ ਗਰੇਡ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਐਲੀਮੈਂਟ

$\gamma ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\,$

σ₁ ਤੋਂ σ₂ ਤੱਕ, 90° ਦੀ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਕੇ ਪਰਖੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ ਕਿ;

${\tfrac {1}{2}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\,\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(1-\sigma _{2}\sigma _{1})=a_{1}\sigma _{2}-a_{2}\sigma _{1}\,$

ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਸਿਰਫ 45° ਤੱਕ ਦੀ ਇੱਕ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਹੀ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

${\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(1-\sigma _{1}\sigma _{2})\,\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}={\frac {a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}+{\frac {-a_{1}+a_{2}}{\sqrt {2}}}\sigma _{1}\sigma _{2}$

• ਇਸੇ ਤਰਾਂ, ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟ γ = −σ₁σ₂ ਇੱਕ 180° ਦੀ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

$(-\sigma _{1}\sigma _{2})\,\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-\sigma _{2}\sigma _{1})=-a_{1}\sigma _{1}-a_{2}\sigma _{2}\,$

ਪਰ ਇਹ ਇੱਕ 90° ਦੀ ਹੀ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ:

$(-\sigma _{1}\sigma _{2})\,\{a_{1}+a_{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\}=a_{2}-a_{1}\sigma _{1}\sigma _{2}$

• ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਜਾਰੀ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ,ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟ γ = −1 ਇੱਕ 360° ਦੀ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦਾ ਹੈ:

$(-1)\,\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\}\,(-1)=a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}\,$

ਪਰ ਇਹ ਇੱਕ 180° ਦੀ ਹੀ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਤਿੰਨ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ

ਕਲਿੱਫੋਰਡ ਅਲਜਬਰਾ Cℓ_3,0(R) ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਸਕੇਲਰ 1, ਤਿੰਨ ਔਰਥੋਗਨਲ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ σ₁, σ₂ ਅਤੇ σ₃, ਤਿੰਨ ਯੂਨਿਟ ਬਾਇਵੈਕਟਰਾਂ σ₁σ₂, σ₂σ₃, σ₃σ₁ ਅਤੇ ਸੂਡੋਵੈਕਟਰ i = σ₁σ₂σ₃ ਦੇ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਸਿੱਧਾ ਹੀ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ

(σ₁)² = (σ₂)² = (σ₃)² = 1, and (σ₁σ₂)² = (σ₂σ₃)² = (σ₃σ₁)² = (σ₁σ₂σ₃)² = −1.

ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦਾ ਸਬ-ਅਲਜਬਰਾ ਇਹਨਾਂ ਸਕੇਲਰ ਡਿਲੇਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

$u^{\prime }=\rho ^{(1/2)}u\rho ^{(1/2)}=\rho u,$

ਅਤੇ ਇਹਨਾਂ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

$u^{\prime }=\gamma \,u\,\gamma ^{*},$

ਜਿੱਥੇ

$\left.{\begin{array}{rcl}\gamma &=&\cos(\theta /2)-\{a_{1}\sigma _{2}\sigma _{3}+a_{2}\sigma _{3}\sigma _{1}+a_{3}\sigma _{1}\sigma _{2}\}\sin(\theta /2)\\&=&\cos(\theta /2)-i\{a_{1}\sigma _{1}+a_{2}\sigma _{2}+a_{3}\sigma _{3}\}\sin(\theta /2)\\&=&\cos(\theta /2)-iv\sin(\theta /2)\end{array}}\right\}$ (1)

ਜੋ ਇੱਕ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ v = a₁σ₁ + a₂σ₂ + a₃σ₃ ਰਾਹੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਧੁਰੇ ਦੁਆਲੇ ਇੱਕ ਐਂਗਲ θ ਰਾਹੀਂ ਘੁਮਾਉਣ ਤੇ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਮਾਮਲੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਹ ਦੇਖਣਾ ਅਸਾਨ ਹੈ ਕਿ, ਜੇਕਰ v = σ₃ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ σ₁σ₂ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਪੁਨਰ ਰਚਨਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਪਿਛਲੇ ਸੈਕਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਵਿਚਾਰਿਆ ਗਿਆ ਸੀ; ਅਤੇ ਅਜਿਹੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ σ₃ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੇ ਗੁਣਾਂਕਾਂ ਨੂੰ ਸਥਿਰ ਛੱਡ ਦਿੰਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ

$(\cos(\theta /2)-i\sigma _{3}\sin(\theta /2))\,\sigma _{3}\,(\cos(\theta /2)+i\sigma _{3}\sin(\theta /2))=(\cos ^{2}(\theta /2)+\sin ^{2}(\theta /2))\,\sigma _{3}=\sigma _{3}.$

ਬਾਇਵੈਕਟਰ σ₂σ₃, σ₃σ₁ ਅਤੇ σ₁σ₂ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਹੈਮਿਲਟਨ ਦੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ i, j ਅਤੇ k ਹਨ ਜੋ 1843 ਵਿੱਚ ਖੋਜੇ ਗਏ ਸਨ:

${\begin{matrix}\mathbf {i} =-\sigma _{2}\sigma _{3}=-i\sigma _{1}\\\mathbf {j} =-\sigma _{3}\sigma _{1}=-i\sigma _{2}\\\mathbf {k} =-\sigma _{1}\sigma _{2}=-i\sigma _{3}.\end{matrix}}$

ਕੁਆਟਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਅਲਜਬਰੇ H ਵਾਲੇ ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੀ ਪਛਾਣ ਨਾਲ, ਜਿਵੇਂ ਦੋ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ ਦੇ ਅਲਨਜਬਰੇ ਦੀ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਉਸ ਦੇ ਆਪਣੇ ਆਪ ਉੱਤੇ ਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਕਾਰਣ, ਤਿੰਨ-ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ (ਵਾਸਤਵਿਕ) ਸਪਿੱਨੌਰ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਇਵਨ ਗਰੇਡਿਡ ਐਲੀਮੈਂਟ ਦਾ ਕਾਰਜ (ਐਕਸ਼ਨ) ਸਧਾਰਨ ਕੁਆਟਰਨੀਔਨਿਕ ਗੁਣਨਫਲ ਰਾਹੀਂ ਮਿਲਦਾ ਹੈ।

ਧਿਆਨ ਦਿਓ ਕਿ ਕਿਸੇ ਐਂਗਲ θ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਲਈ ਸਮੀਕਰਨ ਦਰਸਾਓ (1) ਵਿੱਚ, γ ਵਿੱਚ ਦਿਸਣ ਵਾਲਾ ਐਂਗਲ ਅੱਧਾ ਰਹਿ ਗਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸੇ ਕਾਰਣ ਰੋਟੇਸ਼ਨ γ(ψ) = γψ (ਸਧਾਰਨ ਕੁਆਟਰਨੀਔਨਿਕ ਗੁਣਨਫਲ) ਸਪਿੱਨੌਰ ਨੂੰ ਸਬੰਧਤ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੇ ਐਂਗਲ ਦੇ ਨਾਪ ਤੋਂ ਅੱਧੇ ਐਂਗਲ ਰਾਹੀਂ ਘੁਮਾਏਗਾ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਫੇਰ ਤੋਂ, ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਤੱਕ ਚੁੱਕਣ ਦੀ ਸਮੱਸਿਆ ਦੋ ਮੁੱਲਾਂ ਵਾਲੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਸਮੀਕਰਨ ਦਰਸਾਓ (1) ਜੋ θ/2 ਦੀ ਜਗਹ (180° + θ/2) ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਉਸੇ ਵੈਕਟਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਪੈਦਾ ਕਰੇਗਾ, ਪਰ ਸਪਿੱਨੌਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦਾ ਨੈਗੈਟਿਵ ਹੋਵੇਗਾ।

3D ਵਿੱਚ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸਪਿੱਨੌਰ/ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਕੰਪਿਊਟਰ ਜੀਓਮੈਟਰੀ (ਰੇਖਾਗਣਿਤ) ਅਤੇ ਹੋਰ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਪ੍ਰਚੱਲਿਤ ਹੋ ਰਹੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਬੰਧਤ ਸਪਿੱਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦੀ ਵਿਚਾਰਯੋਗ ਸੰਖੇਪਤਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਰਲਤਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨਾਲ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਵੱਖਰੇ ਧੁਰਿਆਂ ਦੁਆਲੇ ਲਗਾਤਾਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਸੰਯੁਕਤ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਇਕੱਠਿਆਂ ਗੁਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।