ਮੋਨੋਆਇਡ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ
ਇੱਕ ਮੋਨੋਆਇਡ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਉਹ ਸੇਮੀਗਰੁੱਪ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਪਛਾਣ ਐਲੀਮੈਂਟਾਂ (ਤੱਤਾਂ) ਦਾ ਕੋਡੋਮੇਨ (ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਮੁੱਲਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ) ਦੀ ਪਛਾਣ ਤੱਕ ਨਕਸ਼ਾ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ।
ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ
[ਸੋਧੋ]ਮੰਨ ਲਓ S ਕੋਈ ਸੈੱਟ ਹੈ ਅਤੇ • ਕੋਈ ਬਾਇਨਰੀ ਓਪਰੇਟਰ S × S → S ਹੋਵੇ, ਤਾਂ • ਦੇ ਨਾਲ S ਇੱਕ ਮੋਨੋਆਇਡ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਦੋ ਨਿਯਮਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦਾ ਹੋਵੇ,
ਐਸੋਸੀਏਟੀਵਿਟੀ
S ਵਿਚਲੇ ਸਾਰੇ a, b ਅਤੇ c ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ (a • b) • c = a • (b • c) ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।
ਪਛਾਣ ਤੱਤ
S ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਤੱਤ e ਮੌਜੂਦ ਹੋਵੇ ਕਿ S ਵਿਚਲੇ ਹਰੇਕ ਤੱਤ a ਲਈ, ਸਮੀਕਰਨ e • a = a • e = a ਲਾਗੂ ਰਹਿੰਦੀ ਹੋਵੇ।
ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਮੋਨੋਆਇਡ ਕਿਸੇ ਪਛਾਣ ਤੱਤ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਸੇਮੀਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਸਹਿਯੋਗਤਾ (ਐਸੋਸੀਏਟੀਵਿਟੀ) ਅਤੇ ਪਛਾਣ (ਆਇਡੈਂਟਿਟੀ) ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਮੈਗਮਾ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਮੋਨੋਆਇਡ ਵਿੱਚ ਪਛਾਣ ਤੱਤ ਨਿਰਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੋਈ ਅਜਿਹਾ ਮੋਨੋਆਇਡ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਤੱਤ ਦਾ ਇੱਕ ਇਨਵਰਸ (ਉਲਟ) ਹੋਵੇ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਸੰਦਰਭ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹੋਏ, ਬਾਇਨਰੀ ਓਪਰੇਟਰ ਲਈ ਚਿੰਨ ਨੂੰ ਮਿਟਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਜੋ ਓਪਰੇਟਰ ਨੂੰ ਨੇੜੇ ਤੋਂ (ਜਕਸਟਾਪੁਜੀਸ਼ਨ) ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕੇ; ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਮੋਨੋਆਇਡ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਇਸਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ,
ਅਤੇ
ਇਸ ਧਾਰਨਾ ਦਾ ਅਰਥ ਇਹ ਨਹੀਂ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਵਿੱਚ ਨੰਬਰਾਂ ਦੀ ਗੁਣਾ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ।