ਸੁੰਦਰਮ ਦੀ ਛਾਣਨੀ

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਸੁੰਦਰਮ ਦੀ ਛਾਣਨੀ (Sieve of Sundaram) ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਤ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਤੱਕ ਸਾਰੇ ਅਭਾਜ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਲੱਭਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਨਿਰਣਾਤਮਕ ਕਲਨਵਿਧੀ (ਐਲਗੋਰਿਦਮ) ਹੈ। ਇਸਦੀ ਖੋਜ ਭਾਰਤੀ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀ ਐਸ ਪੀ ਸੁੰਦਰਮ ਨੇ 1934 ਵਿੱਚ ਕੀਤੀ ਸੀ।^[1]^[2] ਇਹ ਸੁੰਦਰਮ ਦੀ ਛਾਣਨੀ ਉਸਦੇ ਨਾਮ ਤੇ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਸੀ।

ਐਲਗੋਰਿਦਮ

ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਸੂਚੀ 1 ਤੋਂ n ਤੱਕ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੋ। ਇਸ ਸੂਚੀ ਵਿਚੋਂ, $i + j + 2 ij$ ਰੂਪ ਦੇ ਸਾਰੇ ਨੰਬਰ ਹਟਾਓ ਜਿੱਥੇ:

$i,j\in \mathbb {N} ,\ 1\leq i\leq j$
$i+j+2ij\leq n$

ਬਾਕੀ ਨੰਬਰਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਇੱਕ ਕਰਕੇ ਦੁਗਣਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਜੋੜ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਨਾਲ ਟਾਂਕ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ (ਅਰਥਾਤ, 2 ਨੂੰ ਛੱਡ ਕੇ ਸਾਰੀਆਂ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੀ) 2n + 2 ਤੋਂ ਹੇਠਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੂਚੀ ਮਿਲ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

ਸ਼ੁੱਧਤਾ

ਅਗਰ ਅਸੀਂ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰੀਏ $1$ ਤੋਂ n ਤੱਕ, ਅੰਤਮ ਸੂਚੀ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ 3 ਤੋਂ $2n+1$ ਟਾਂਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੋਣਗੇ। ਇਸ ਅੰਤਮ ਸੂਚੀ ਵਿਚੋਂ, ਕੁਝ ਟਾਂਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਬਾਹਰ ਰੱਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ; ਸਾਨੂੰ ਇਹ ਦਰਸਾਉਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਬਿਲਕੁਲ $2n+2$ ਨਾਲੋਂ ਘੱਟ ਕੰਪੋਜ਼ਿਟ ਟਾਂਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹਨ।

ਮੰਨ ਲਓ q $2k+1$ ਰੂਪ ਦਾ ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਹੈ। ਤਾਂ, q ਸਿਰਫ ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਜੇ ਉਸ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ ਬਾਹਰ ਰੱਖਿਆ ਜਾਵੇਗਾ ਜੇ k $i+j+2ij$ , ਯਾਨੀ $q=2(i+j+2ij)+1$ ਰੂਪ ਦਾ ਹੈ। ਫਿਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਆ ਜਾਂਦੇ ਹਨ:

{\begin{aligned}q&=2(i+j+2ij)+1\\&=2i+2j+4ij+1\\&=(2i+1)(2j+1).\end{aligned}}

ਇਸ ਲਈ, ਇੱਕ ਟਾਂਕ ਪੂਰਨ ਅੰਕ ਨੂੰ ਅੰਤਮ ਸੂਚੀ ਵਿਚੋਂ ਬਾਹਰ ਕੱਢ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜੇ ਅਤੇ ਕੇਵਲ ਜੇ ਇਸ ਵਿੱਚ $(2i+1)(2j+1)$ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੁਣਨ ਖੰਡ ਹੈ - ਜਿਸ ਦਾ ਭਾਵ ਹੈ ਕਿ, ਜੇ ਇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੈਰ- ਮਾਮੂਲੀ ਟਾਂਕ ਗੁਣਨ ਖੰਡ ਹੈ। ਇਸ ਲਈ ਸੂਚੀ ਐਨ ਸਹੀ ਸਹੀ $2n+2$ ਤੋਂ ਘੱਟ ਜਾਂ ਇਸ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਦੀਆਂ ਟਾਂਕ ਅਭਾਜ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੀ ਬਣੀ ਹੋਵੇਗੀ।

C ਵਿੱਚ ਪ੍ਰੋਗਰਾਮ

#include <stdio.h>
int main(void) {
 int i,j,n;
 scanf("%d",&n);
 char a[n];
 
 for (i=1; i<=n; i++)
 a[i]=1;

 for(i=1;2*i*(i+1)<n;i++)
 for(j=i;j<=(n-i)/(2*i+1);j++)
 a[2*i*j+i+j]=0;
 
 for(i=0;i<n;i++)
 if(a[i])
 printf("%d ",2*i+1);
 return 0;
}

ਹਵਾਲੇ

↑ V. Ramaswami Aiyar (1934). "Sundaram's Sieve for Prime Numbers". The Mathematics Student. 2 (2): 73. ISSN 0025-5742.
↑ G. (1941). "Curiosa 81. A New Sieve for Prime Numbers". Scripta Mathematica. 8 (3): 164.

Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-00000018-QINU`"'</ref>" does not exist. Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-00000019-QINU`"'</ref>" does not exist. Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-0000001A-QINU`"'</ref>" does not exist.
Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-0000001B-QINU`"'</ref>" does not exist. Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-0000001C-QINU`"'</ref>" does not exist. Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-0000001D-QINU`"'</ref>" does not exist.
ਪ੍ਰਾਈਮਜ਼ ਲਈ ਇੱਕ ਨਵਾਂ "ਸਿਈਵੀ"^{[permanent dead link]} , Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-0000001E-QINU`"'</ref>" does not exist. ਇੱਕ ਅੰਸ਼ Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-0000001F-QINU`"'</ref>" does not exist. Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-00000020-QINU`"'</ref>" does not exist. Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-00000021-QINU`"'</ref>" does not exist. Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-00000022-QINU`"'</ref>" does not exist. Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-00000023-QINU`"'</ref>" does not exist. (ਰੂਸੀ ਕਿਤਾਬ ਦਾ ਅਨੁਵਾਦ Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-00000024-QINU`"'</ref>" does not exist. Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-00000025-QINU`"'</ref>" does not exist. Nakli itihaas jo likheya geya hai kade na vaapriya jo ohna de base te, saade te saada itihaas bna ke ehna ne thop dittiyan. anglo sikh war te ek c te 3-4 jagaha te kiwe chal rahi c ikko war utto saal 1848 jdo angrej sara punjab 1845 ch apne under kar chukke c te oh 1848 ch kihna nal jang ladd rahe c. Script error: The function "citation198.168.27.221 14:54, 13 ਦਸੰਬਰ 2024 (UTC)'"`UNIQ--ref-00000026-QINU`"'</ref>" does not exist.)
Movshovitz-Hadar, N. (1988). "Stimulating Presentations of Theorems Followed by Responsive Proofs". For the Learning of Mathematics. 8 (2): 12–19.
Ferrando, Elisabetta (2005). ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਉਣ ਅਤੇ ਸਾਬਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਅਗਵਾ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਕਿਰਿਆਵਾਂ (ਪੀਡੀਐਫ) (ਪੀਐਚਡੀ). ਪਰਡਯੂ ਯੂਨੀਵਰਸਿਟੀ. ਪੀਪੀ. 70-72.
Baxter, Andrew. "Sundaram's Sieve". Topics from the History of Cryptography. MU Department of Mathematics. Archived from the original on 2011-08-12. Retrieved 2019-10-29. {{cite journal}}: Unknown parameter |dead-url= ignored (|url-status= suggested) (help)

[1] V. Ramaswami Aiyar (1934). "Sundaram's Sieve for Prime Numbers". The Mathematics Student. 2 (2): 73. ISSN 0025-5742.

[2] G. (1941). "Curiosa 81. A New Sieve for Prime Numbers". Scripta Mathematica. 8 (3): 164.

[1]

[2]